求解圆锥曲线对称问题的方法
我们知道过定点的直线在圆上存在两点关于该直线对称，只需该直线过圆心即可，由直线上两点求该直线的方程即可轻松拿下．是，若一条过定点的直线与椭圆相交且在椭圆上存在两点关于该直线对称，如何求该直线的斜率的取值范围？
x2例1、已知椭圆?y2?1上两个不同的点A,B关于直线y?kx?1对称。求实数k的
4取值范围。解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于l：y?kx?1对称，AB的中点M(x0,y0)依题意直线l的斜率存在且不为0，不妨设AB所在的直线方1程为：y?mx?n(m??)k?y?mx?n2222222?(4m?1)x?8mnx?4n?4?0;??64mn?16(n?1)(4m?1)?0?22?x?4y?4?n2?4m2?1①x1?x2??8mn4mnn?x??代入y?mx?n得：y?004m2?14m2?14m2?1
n?4mn又因为中点M(x0,y0)在直线y?kx?1上得：2?k?2?1,km??14m?14m?1(4m2?1)2122?n?,代入①得：m2?2?2?2?k?或k??.9k222方法总结：欲求过定点直线的斜率的取值范围，设出与其垂直的直线的方程，通过垂线方程与椭圆方程联立，由??0找出不等关系式；由根与系数的关系
求出中点坐标，再将中点坐标代入已知直线方程找出所设变量之间的关系式与所求出的不等式结合，进而求出已知直线斜率k的取值范围。x2y2例2、椭圆2?2?1(a?0,b?0,a?b)上是否存在两个不同的点A,B关于ab直线l:y?kx?t（t为非零常数）对称，若存在，求实数k的取值范围。若不存在，请说明理由。
解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于l：y?kx?t(t?0)对称，AB的中点M(x0,y0)依题意直线l的斜率存在且不为0，不妨设AB所1在的直线方程为：y?mx?n(m??)k
y?mx?n?222222222??22?(am?b)x?2amnx?an?ab?0;2222?bx?ay?ab??4a4m2n2?4(a2n2?a2b2)(a2m2?b2)?0?n2?a2m2?b2①2a2mna2mnb2nx1?x2??22?x0??22代入y?mx?n得：y0?22am?b2am?b2am?b2b2n?a2mn又因为中点M(x0,y0)在直线y?kx?t上得：22?k?22?t,km??1am?b2am?b2(a2m2?b2)2t2?n?,代入①得：(a2m2?b2)(a2m2t2?b2t2?c4)?0222(a?b)2（1）若a2?b2?|bt|?c2?|bt|?c4?b2t2?0c4?b2t21c4?b2t2|at||at|?m????k?或k??；22222422422atkatc?btc?bt2
（2）若a2?b2?|bt|?c2?|bt|?c4?b2t2?0时，即b2t2?c4?0,(a2m2?b2)(a2m2t2?b2t2?c4)?0,无解，即这样的直线·l不存在。小结：在该问题中，若c2?|bt|,则直线l存在；若c2?|bt|,则直线l不存在。在学习复习中，可以作为一个结论记住，在做选择、填空题时可以起到事半功倍的效果。x2y2例3、椭圆C：??1上是否存在两个不同的点A,B关于直线l：y?kx?5对称，169若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于l：y?kx?5对称，AB的中点M(x0,y0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，不妨设AB所在的1直线方程为：y?mx?n(m??)k?y?mx?n??2?(16m2?9)x2?32mnx?16n2?144?0;2?9x?16y?144
??4?256m2n2?4(16n2?144)(16m2?9)?0?n2?16m2?9①x1?x2??32mn16mn9n?x??代入y?mx?n得：y?0016m2?916m2?916m2?99n?16mn又因为中点M(x0,y0)在直线y?kx?5上得：2?k??5,km??1216m?916m?925(16m2?9)222?n?,代入①得：(16m?9)(16?25m?9?25?49)?02(16?9)2(16m2?9)(400m2?176)?0，无解。?这样的直线l不存在。x2y27例4、椭圆C：??1上是否存在两个不同的点A,B关于直线l：y?kx?对称，1693 若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。7解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于l：y?kx?对称，AB的3中点M(x0,y0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，不妨设AB所在的1直线方程为：y?mx?n(m??)k?y?mx?n222??2?(16m?9)x?32mnx?16n?144?0;2?9x?16y?144??4?256m2n2?4(16n2?144)(16m2?9)?0?n2?16m2?9①32mn16mn9nx1?x2???x??代入y?mx?n得：y?0016m2?916m2?916m2?979n?16mn7又因为中点M(x0,y0)在直线y?kx?上得：2?k??,km??12316m?916m?93
49(16m2?9)2492492?n2?9,代入①得：(16m?9)(16?m?9??49)?02(16?9)997842(16m2?9)(m?0)?0，无解。9?这样的直线l不存在。上述问题中已知所求直线在y轴上的截距，但如果已知直线在x轴上的截距，又该如何处理？结论又会怎样？
x2y231例5、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,),且离心率e?.ab22(1)求椭圆C的方程；
1(2)已知椭圆C上两个不同点A,B关于x?ky?对称，求实数k的取值范围。8x2y2解析：(1)C:??1;431(2)设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于x?ky?对称,AB的中点M(x0,y0),8k?0,不妨设AB所在的直线方程为：y?mx?n(m?k?0)y?mx?n?222??2?(4m?3)x?8mnx?4n?12?02?3x?4y?12?0??64m2n2?16(n2?3)(4m2?3)?0?n2?4m2?3①由根与系数的关系：x1?x2?y0??8mn?4mn?x?,代入y?mx?n得：04m2?34m2?3
3n4mn3n1?M(?,),将点M的坐标代入x?ky?4m2?34m2?34m2?38?4mn3n14m2?3?k?2?,(?m?k?0)??n?代入①：4m2?34m?388m(4m2?3)21155222?4m?3?m??k??k?或k??.264m20241010
方法总结：欲求过定点直线的斜率的倒数的取值范围，设出与其垂直的直线的方程，通过垂线方程与椭圆方程联立，由??0找出不等关系式；由根与系数的关系求出中点坐标，再将中点坐标代入已知直线方程找出所设变量之间
的关系式与所求出的不等式结合，进而求出已知直线斜率的倒数k的取值范围。x2y2例6、椭圆C:2?2?1(a?b?0)上是否存在两个不同点A,B关于x?ky?t(t?0)ab对称，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于x?ky?t对称,AB的中点M(x0,y0),k?0,不妨设AB所在的直线方程为：y?mx?n(m?k?0)y?mx?n?222222222??22?(am?b)x?2amnx?an?ab?02222?bx?ay?ab?0??4a4m2n2?4a2(n2?b2)(a2m2?b2)?0?n2?a2m2?b2① ?2a2mn?a2mn由根与系数的关系：x1?x2?22?x?,代入y?mx?n得：0am?b2a2m2?b2b2na2mnb2ny0?22?M(?22,22),将点M的坐标代入x?ky?t222am?bam?bam?b?a2mnb2n22222?k??t,(?m?k?0)??amn??bmn?(am?b)t222222am?bam?b(a2m2?b2)t(a2m2?b2)2t22?n??n?代入①：224mcmc(a2m2?b2)2t2222422222?am?b?(c?at)m?bt24mcb2t2b2t2|bt||bt|2(1)c?at?0时m?4?k??k?或k??;22422422422c?atc?atc?atc?at4222(2)c4?a2t2?0时，(c4?a2t2)m2?b2t2不成立，这样的直线l不存在。小结：在学习复习中，可以作为一个结论记住，在做选择、填空题可以起到 事半功倍的效果。以上讨论的是过定点的直线在椭圆上有两点关于该直线对称，那么，过定点的直线在双曲线上有两点关于直线对称，结论又是怎样？
求解圆锥曲线对称问题的方法
