导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a,b)内：
（1）如果f?(x)?0，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果f?(x)?0，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果f?(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，f?(x)?0(f?(x)?0)是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
23要条件.例如，函数f(x)?x在定义域(??,??)上是增函数，但f?(x)?3x?0.
（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f?(x)?0(f?(x)?0)在(a,b)内恒成立，且f?(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f?(x)?0,不影响函数f (x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f '(x)?0，右侧f '(x)?0，则称x=a为f (x)的极小值点，f(a)叫做函数f (x)的极小值.
（2）若在点x=b处有f '(b)=0，且在点x=b附近的左侧f '(x)?0，右侧f '(x)?0，则称x=b为f (x)的极大值点，f(b)叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数y?f?x?的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数f?x?在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f?x?在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为： （1）求f?x?在(a,b)内的极值；
（2）将函数f?x?的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；
（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f?(x)?0（f?(x)?0）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论，f?(x)?0时为增函数，f?(x)?0时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数f?x?的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f??x??0(或f??x??0)(f??x?在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f?(x)?0(或f?(x)?0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知f?x?在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f?x?的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 已知函数（1）函数
，其中.
的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；
的单调性.
（2）讨论函数
（2）由于当当当①当当当当②当③当当当当
时，
时，时，时，时，
在在
2x，
，当，得， ，
时，
单调递增， ，，，， ，
，，在在
单调递增，
单调递减， 单调递减， 时，单调递减； 或
，
，
单调递增，
时，时，时，由
时，时，
，时，时，时，
时，
单调递增； 单调递增；
单调递增.
上是减函数，在
上是增函数，在
上是增函数；
上是增函数，在
上是减函数. 上是增函数；
上是减函数；
综上，当当当当
典例2 设函数f(x)?e?alnx.
（1）讨论f(x)的导函数
f?(x)的零点的个数；
2. a（2）证明：当a?0时，f(x)?2a?aln
（2）由（1），可设f￠(x)在(0，+￥)上的唯一零点为x0.
+当x?(0,x0)时，f￠(x)<0;当x违(x0，)时，f￠(x)>0.
+￥)上单调递增，所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为故f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0，f(x0).
由于2e2x0-aa22a=2ax0，+2ax0+aln?2aaln（当且仅当=0，所以f(x0)=e2x0-alnx0=2x02x0aax0即x0?1时，等号成立）. 2故当a>0时，f(x)?2aaln2. a
x3?x2?2x?a?R?. 1．已知函数f?x??ae?3x（1）当a?1时，求y?f?x?在x?0处的切线方程； （2）若函数f?x?在??1,1?上单调递减，求实数a的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
高三理科985清北班第七讲(课程资料)
