十年中考数学试题分类解析专题3：方程（组）和不等式（组）

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一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】

1.（上海市2003年3分）已知0

?x?b?x??b?x??b?x?b【答案】A，C。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】画出数轴，利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

A中：x正好处于a、b之外，符合“大大小小解不了”的原则，所以无解；

B中：x正好处于－a、－b之间，并且是大于－a，小于－b，符合“大小小大

故

选A，C。

2.（上海市2006年4分）在下列方程中，有实数根的是【 】

（A）x?3x?1?0 （B）4x?1??1 （C）x?2x?3?0 （D）【答案】A。

【考点】一元二次方程根的判别式，算术平方根，解分式方程。

【分析】A、△=9-4=5＞0，方程有实数根；B、算术平方根不能为负数，故错误；C、△=4-12=-8＜0，方程无实数根；D、化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解。故选A。 3.（上海市2008年4分）如果x?2是方程A．0

B．2

C．?2

22x1? x?1x?11x?a??1的根，那么a的值是【 】 2D．?6

【答案】C。 【考点】方程的根。

【分析】根据方程根的定义，把x?2代入方程解得a=?2。故选C。

4.（上海市2008年Ⅰ组4分）如果x1，x2是一元二次方程x?6x?2?0的两个实数根，那么x1?x2的值是【 】 A．?6 【答案】C。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】根据两根之和公式直接求出：x1?x2??5.（上海市2009年4分）不等式组?A．x??1 【答案】C。

B．x?3

B．?2

C．6

D．2

211x?a??1，得到关于a的方程?2?a??1，22?6=6。故选C。 1?x?1?0，的解集是【 】

?x?2?1C．?1?x?3

D．?3?x?1

将原

方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是【 】 A．y?y?3?0 C．3y?y?1?0 【答案】A。

【考点】换元法解分式方程。 【分析】如果设

22

B．y?3y?1?0 D．3y?y?1?0

22

x?1x13?y那么?，原方程可化为y??1?0，去分母，可以把分式方程转xx?1yy2化为整式方程：y?y?3?0。故选A。

7.（上海市2010年4分）已知一元二次方程 x ? x?1=0，下列判断正确的是【 】 A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定

[来源:Zxxk.Com]2

个不相

等的实数根。故选B。

8.（上海市2011年4分）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是【 】

(A) a＋c＞b＋c； (B) c－a＞c－b； (C) ac＞bc； (D) 【答案】Ａ。

【考点】不等式的性质。

[来源学科网]ab? ． cc

【分析】根据不等式的性质，得(A) a＞b有a＋c＞b＋c，选项正确； (B)由a＞b有－a＜－b，从而c－a＜c－b，选项错误；(C) 由a＞b，c＜0有ac＜bc，选项错误；(D) 由a＞b，c＜0有

ab

<。故选Ａ。 cc

??2x<69.（2012上海市4分）不等式组?的解集是【 】

?x?2>0 A． x＞﹣3

B． x＜﹣3

C． x＞2

D． x＜2

此，

由第一个不等式得：x＞﹣3， 由第二个不等式得：x＞2。

∴不等式组的解集是x＞2．故选C。

10.（2012上海市4分）方程x+1=2的根是 ▲ ． 【答案】x=3。 【考点】解无理方程。

【分析】两边平方后去根号化为整式方程，解方程即可：x+1=2?x+1=4?x=3，经检验x=3是原方程的根。

11．（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ▲ ． 【答案】c＞9。

【考点】一元二次方程根的判别式。

2

【分析】∵关于x的一元二次方程x﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，

∴△=（﹣6）﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9。

12.（2013年上海市4分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是【 】

（A）x2?1?0 （B）x2?x?1?0 （C）x2?x?1?0 （D）x2?x?1?0．

2

2

[来源学§科§网]

二、填

空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】 1.（上海市2002年2分）方程2x2?1＝x的根是 ▲ ． 【答案】1。

【考点】解无理方程。

【分析】把方程两边平方后求解，注意检验：

把方程两边平方得2x?1=x，

22x2?1=0，

x=?1。

代入原方程得：当x=1时，等式成立；当x=?1时，等式无意义。 故方程2x2?1＝x的根是1。

2.（上海市2002年2分）在方程x2?于y的整式方程是 ▲ ． 【答案】y2?4y?1?0。 【考点】换元法解分式方程。 【分析】移项x2?3x?1?3x?4中，如果设y?x2?3x，那么原方程可化为关2x?3x112y??4?0方程两边同乘，设，代入原方程得：y?x?3x?4?02yx?3x以y整理得：y2?4y?1?0。 3.（上海市2003年2分）方程2?x?2??x的根是 ▲ 。

4.（上海市2003年2分）某公司今年5月份的纯利润是a万元，如果每个月份纯利润的增长率都是x，那么预计7月份的纯利润将达到 ▲ 万元（用代数式表示）。 【答案】a (1＋x)2。

【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。

【分析】某公司今年5月份的纯利润是a万元，每个月份纯利润的增长率都是x，则6月份的纯利润为a (1＋x) 万元， 6月份的纯利润为a (1＋x) (1＋x) ＝a (1＋x)2万元。 5.（上海市2004年2分）不等式组?【答案】0，1。

【考点】一元一次不等式组的整数解。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。最后在取值范围内找到整数解：

01）?2x?3?（的整数解是 ▲ 。 02）?3x?2?（?2x?3?03223由（1）得x?，由（2）得x??。所以不等式组?解集为??x?，则

2332?3x?2?0整数解是0，1。

?x?x?16.（上海市2004年2分）方程7的根是 ▲ 。

7.（上海市2004年2分）用换元法解方程x?于y的整式方程是 ▲ 。 【答案】y2?y?2=0。 【考点】换元法解分式方程。

21x2?x?11?0，可设y?x?，则原方程化为关xx111??22=y?2 【分析】∵y?x?，∴y2??x??，即x?2xxx??∴原方程可化为y2?y?2=0。

8.（上海市2005年3分）已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 ▲ 只需写出一个 方程）

【答案】x?x=0（答案不唯一）。 【考点】一元二次方程的解。

【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可：根据题意x=1，可得方程式

22?x?1??ax+b?=0

。 ?a?0?。令a=1，b=0，得一个满足重要条件的方程x2?x=0（答案不唯一）

9.（上海市2005年3分）如果关于x的方程x?4x?a?0有两个相等的实数根，那么a＝ ▲ 。

2

10.（上海市2006年3分）不等式x?6?0的解集是 ▲ 。 【答案】x?6。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】由不等式的基本性质，将不等式两边同时加6，不等号的方向不变．得到不等式的解集为：

x?6。

11.（上海市2006年3分）方程2x?1=1的根是 ▲ 。 【答案】x=1。 【考点】解无理方程。

【分析】两边平方后去根号化为整式方程，解方程即可：2x?1=1?2x?1=1?x=1，经检验x=1是原方程的根。

12.（上海市2006年3分）方程x?3x?4?0的两个实数根为x1、x2，则x1·x2= ▲ 。 【答案】－4。

【考点】一元二次方程根与系数的关系

【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系即可求解：x1·x2=－4。

2x2x22x?1?2?2时，如果设y?13.（上海市2006年3分）用换元法解方程，那么原方程

2x?12x?1x可化 为 ▲ 。

【答案】y?2y?1?0。 【考点】换元法解分式方程。

2x22x?111?y??2，去分母，可以把分式方程转【分析】如果设y?那么，原方程可化为

2x?1x2yy化为整式方程：y?2y?1?0。

14.（上海市2007年3分）若方程x?2x?1?0的两个实数根为x1，x2，则x1?x2? ▲ ． 【答案】2。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

22

【分析】根据两根之和公式直接求出：x1?x2???2=2。 115.（上海市2007年3分）方程1?x?2的根是 ▲ ．

16.（上海市2008年4分）不等式x?3?0的解集是 ▲ ． 【答案】x?3。

【考点】解一元一次不等式。 【分析】x?3?0?x?3。

17.（上海市2008年4分）用换元法解分式方程

2x?1x2x?1??2时，如果设?y，并将原x2x?1x方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ▲ ． 【答案】y2?2y?1?0。 【考点】换元法解分式方程。 【分析】如果设

2x?112x?11?y那么?，原方程可化为y??2，去分母，可以把分式方程转xyxy2化为整式方程：y?2y?1?0。

18.（上海市2008年4分）方程3?x?2的根是 ▲ ．

19.（上海市2009年4分）方程x?1?1的根是 ▲ ． 【答案】x=2。 【考点】解无理方程。

【分析】两边平方后去根号化为整式方程，解方程即可：x?1=1?x?1=1?x=2，经检验x=2

是原方程的根。

20.（上海市2009年4分）如果关于x的方程x?x?k?0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k? ▲ ． 【答案】

21。 4【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】根据一元二次方程根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值： ∵a?1，b??1，c=k，

22 ∴??b?4ac?（?1）?4?1?k?1?4k?0，解得k?1。 421.（上海市2010年4分）不等式3x?2?0的解集是 ▲ . 【答案】x?2。 3【考点】解一元一次不等式。 【分析】3x?2?0?3x?2?x?22.（上海市2010年4分）方程 【答案】x=3。 【考点】解无理方程。

【分析】两边平方后去根号化为整式方程，解方程即可：x?6=x?x?1=x2?x1=3，x2=?2，经检验x=?2是增根，x=3是原方程的根。

23.（上海市2011年4分）如果关于x的方程x2?2x?m?0（m为常数）有两个相等实数根，那么

2。 3x?6=x的根是 ▲ .

m＝

▲ ．

24.（上

海市2011年4分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ▲ ． 【答案】20%。

【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。

【分析】设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）

故这个增长率是20%。

?x?1>023.（2013年上海市4分）不等式组? 的解集是 ▲ ．

3x?3>x?【答案】x>1。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

?x>1?x?1>0????3?x>1。

?3x?3>x?x>?2?三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】

?3x?1?5?x?1?,?1.（上海市2002年7分）解不等式组：?46?5xx?6?.?3?3【答案】解：由①解得 x＜3，

由②解得 x≥

①②

3 ， 83≤x＜3。 8∴ 原不等式组的解集是

n个球

的人数分布情况：

[来源学科网]

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个求的各有多少人． 【答案】解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人

?3x?4y?5?2?x?y?2?3.5,? 由题意，得? （*）

?0?1?1?2?2?7?3x?4y?2.5.?1?2?7?x?y??x?y?6, 整理，得?

x?3y?18? 解得??x?9,

?y?3?x?9, 是方程组（*）的解。 y?3? 经检验：?答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人。

【考点】方程（组）的应用。

【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球。

22??4x?y?0①3.（上海市2003年7分）解方程组：?

2??x?xy?4?0②

【考点】解高次方程组。

【分析】先把二元二次方程组转化成二元一次方程组，经过转化可以得到两个二元一次方程组，然后再用解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法解方程组即可。

x?(31m???)x21m?04.（上海市2004年7分）关于x的一元二次方程m，其根的判别式的值

为1，求m的值及该方程的根。

2x?(31m???)x21m?0【答案】解：m

由题意得mb ?0，???4ac?(3m?1)??4m(2m1)?1222

解之，9m2?6m?1?8m2?4m?1?0 m2?2m?0，0m?2。 ∴m?（舍去）或则原方变为2x2?5x?3?0， ∴x1?3，x2?1。 25.（上

海市2004年10分）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

【答案】解：设原计划每天加固xm，则现在计划为x?20m，由题意可得：

22402240 ??2x?20x 解得：x?140

那么现计划为140?20?160,则224?160?64 答：每天加固的长度还要再增加64m。 【考点】分式方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

现在计划加固工程的时间＝原计划加固工程的时间－2天

22402240 ＝ －2。 x?20x6.（上海市2005年8分）解不等式组：?

【答案】解：?-5-4-3-2-1O12345?3x?1?5?x，并把解集在数轴上表示出来.

2x?1?6?x???x??3x?1?5?x ?1?，

??2?x?1??6?x ?2?由（1）得4x＞4，∴x＞1；由（2）得2x+2-6＜x，∴x＜4。 ∴原不等式组的解集为1＜x＜4。

解集在数轴上表示为

7.（上

xx?28??2 x?1x?2x?4【答案】解：方程两边同乘以最简公分母（x＋1）（x＋2）（x－2），

海市2005年8分）解方程：

得：（x－2）（x＋2）x－（x＋1）（x＋2）2=8（x＋1），即5x2＋20x＋12=0，

解得x1=?10?210?10?210，x2=。

55?10?210?10?210，x2=都是方程的根。

55 经检验x1= ∴原方程的根为x1=?10?210?10?210，x2=。

552）。故

方程两边乘以（x－1）（x＋2）（x－2），化为整式方程后求解。 8.（上海市2006年5分）解方程组：?2?x?y?3?0?x?y?1?02

【答案】解：两式相加，消去y得x?x?2?0， 得x1??2，x2?1， 由x1??2，得y1??5， 由x2?1，得y2??2，

∴原方程组的解是?【考点】解高次方程。

?x1??2?x2?1，?。

?y1??5?y2??2【分析】观察题可发现两式相加就变成了一元二次方程，然后解一元二次方程即可。

?3?x?0，?9.（上海市2007年9分）解不等式组：?4x3x并把解集在数轴上表示出

???，?6?32来．

【答案】解：由3?x?0，解得x?3，

4x3x???，解得x??1。 326 ∴不等式组的解集是?1?x?3。

由

解集在数轴上表示为：

“≥”，

“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

x2?3x2x?1??0． 10.（上海市2007年9分）解方程：2x?1x?1【答案】解：去分母，得x2?3x?(2x?1)(x?1)?0， 整理，得3x?2x?1?0， 解方程，得x1?1，x2??21。 31是原方程的根。 3 经检验，x1?1是增根，x2?? ∴原方程的根是x??。

13

年和

2007年的药品降价金额．

年份 降价金额（亿元）

2001 54

2003

2004 35

2005 40

2007

【答案】解：设2003年和2007年的药品降价金额分别为x亿元、y亿元。

?y?6x 根据题意，得?，

54?x?35?40?y?269 ? 解方程组，得??x?20 。

?y?120 答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元。 【考点】二元一次方程组的应用。．

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 2007年药品降价金额=2003年药品降价金额×6倍 y = 6x 2003年到2007年降价金额=269 54?x?35?40?y?269。 12.（上海市2008年10分）解方程：

6x5x?4?? 2x?1x?1x?1【答案】解：去分母，得6x?5(x?1)?(x?4)(x?1)， 整理，得x?8x?9?0。 ∴x1??1，x2?9。

经检验，x1??1是增根，x2?9是原方程的根。 ∴原方程的根是x?9。

【考点】解分式方程，因式分解法解一元二次方程。

2

2【分析】由于x?1=?x?1??x?1?，所以本题的最简公分母是?x?1??x?1?，方程两边都乘最简

公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。 13.（上海市2009年10分）解方程组：??y?x?1，?2x?xy?2?0.2①②

【考点】解高次方程。

【分析】观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y，求出未知数x的值后，从而求得这个方程组的解。

14.（上海市2010年10分）解方程：

x2x?2??1=0 x?1x【答案】解：x?x??2x?2??x?1??1?x??x?1??0

x2?2?x?1??x?x?1??0

2x2?2?x2?2x?1??x2?x?0

?2x2?4x?2?x?0

2x2?5x?2?0

?2x?1??x?2??0

1 ∴x?或x?2

2 代入检验得符合要求

[来源学&科&网Z&X&X&K]

1 ∴原方程的解为x?或x?2。

2【考点】解分式方程。

16.

（2012上海市10分）解方程：

x61+2= x+3x?9x?3【答案】解：方程的两边同乘以（x+3）（x﹣3），得

x（x﹣3）+6=x+3， 整理，得x﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3。

经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根。 ∴原方程的解为x=1。

【考点】解分式方程。

【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解。

2

?x?y??217.（2013年上海市10分）解方程组：?2 ． 2?x?xy?2y?0