欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
动点轨迹方程的求法
时间：2021.02.03 创作：欧阳体 一、直接法
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2?y2?1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数????0?（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有
MNMQ??，即
MO?ONMQ22??，
x2?y2?1(x?2)?y22??．整理得M的轨迹方
(?2?1)x2?(?2?1)y2?4?2x?(1?4?2)?0，这就是动点
程．若??1，方程化为x?5，它表示过点(5,0)和x轴垂直的一
4
4条直线；若
2?221?3?22（x－2）?y?2λ≠1，方程化为
??1(??1)2，它表示以
1?3?22?2(2,0)为圆心，2??1??1为半径的圆．
二、代入法
若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．
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例2 已知抛物线y2?x?1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设P(x,y),B(x1,y1)，由题设，P分线段AB的比
??3?2x11?2y1AP3331,y?.解得x1?x?,y1?y?.又点?2，∴x?1?21?2PB2222y2?x?1B
在抛物线
222上，其坐标适合抛物线方程，
333∴(3y?1)2?(3x?3)?1.整理得点P的轨迹方程为(y?1)2?2(x?1),2其轨迹为抛物线． 三、定义法
若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．
例3 若动圆与圆(x?2)2?y2?4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是
（A）y2?12x?12?0 （B）y2?12x?12?0 （C）y2?8x?0 （D）y2?8x?0
【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是
y2??12(x?1)．选（B）．
例4 一动圆与两圆x2?y2?1和x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆
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心轨迹为
（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆
【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有
MO?r?1,MC?r?2,MC?MO?1.动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义
知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）． 四、参数法
若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．
例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且
OPOQ?tt2?1，当
t变化时，求点P的轨迹方程，并说明
轨迹是什么图形．
【解析】：（1）设所求椭圆方程为
?a2?b2?1,??a??t,?by2x2??1(a＞b＞0).由题意得a2b2解得
?2t2a?2.??t?1??b2?1.?t2?1?所以椭圆方程为
t2(t2?1)x2?(t2?1)y2?t2．
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轨迹方程的五种求法例题之欧阳体创编
