包含Chebyshev多项式的r-循环矩阵的谱范数
师白娟
【摘 要】摘要:研究包含第一类Chebyshev多项式和第二类Chebyshev多项式的r-循环矩阵的谱范数,并由矩阵范数和Chebyshev多项式的性质,通过代数方法给出谱范数的上下界估计.
【期刊名称】四川师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(041)004 【总页数】5
【关键词】关键词:Chebyshev多项式; r-循环矩阵; 谱范数; 欧几里得范数
1 引言及预备知识
对任意n≥0,著名的第一、二类切比雪夫多项式Tn(x)和Un(x)的定义如下: 其中表示的最大的整数.
显然Tn(x)和Un(x)是二阶线性递推多项式,并且满足递推公式: Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x), n≥1, T0(x)=1, T1(x)=x,
T2(x)=2x2-1, T3(x)=4x3-3x; Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x), n≥1, U0(x)=1, U1(x)=2x,
U2(x)=4x2-1, U3(x)=8x3-4x. {Tn(x)}和{Un(x)}的通项公式为:
最近,一些学者研究了著名数列的特殊矩阵的范数.Akbulak等[1-2]研究了包含
Fibonacci和Lucas数列的Toeplitz和Hankel的谱范数的上界和下界估计.Solak[3]研究了包含Fibonacci数列和Lucas数列的循环矩阵的谱范数的上界和下界估计.此外,也有很多学者研究特殊矩阵的范数及有关范数的不等式,例如研究了Cauchy-Toeplitz和Cauchy-Hankel矩阵的谱范数的上下界估计[4-5].
受上述文献的启发,研究包含第一类Chebyshev多项式和第二类Chebyshev多项式的r-循环矩阵的谱范数和Euclidean范数.
定义 1.1 矩阵A=(aij)∈Mm×n的欧几里得范数与谱范数定义为: 其中,λi是矩阵AHA的特征值,矩阵AH是矩阵A的共轭转置矩阵. 下面有关矩阵A的欧几里得范数与谱范数的不等式成立[6]: (1) (2)
引理 1.1[7] 设矩阵A和B是2个m×n矩阵,那么 ‖A°B‖2≤‖A‖2‖B‖2,
其中A°B是A和B的Hadamard积. 引理 1.2[7] 设A和B是2个m×n矩阵,那么 ‖A°B‖2≤r1(A)c1(B), 其中
引理 1.3 当1-x2≠0时, 证明
2 主要结论
定理 2.1 设n×n矩阵是r-循环矩阵，则有:
(i) 如果|r|≥1,那么 (ii) 如果|r|<1,那么
‖An‖2是矩阵An的谱范数,其中 证明
由谱范数定义可得 (i) 当|r|≥1,由引理1.3有 n+n(K1-1)=nK1. 因此
另一方面,设矩阵B和C为: 则An=B°C有 因此
(ii) 当|r|<1时, ‖An‖E= = 因此
另一方面,对矩阵B和C有 因此 综上
推论 2.1 设D=LDr(Tn-1(x),Tn-2(x),Tn-3(x),…,T1(x),T0(x))是r-左循环矩阵,则有:
(i) 如果|r|≥1,那么
(ii) 如果|r|<1,那么
‖Dn‖2是矩阵Dn的谱范数,其中 证明方法与上面相同,并有相同结果. 定理 2.2 设n×n矩阵
Circr(U0(x),U1(x),…,Un-1(x))∈Mn 是r-循环矩阵,则有: (i) 如果|r|≥1,那么 (ii) 如果|r|<1,那么
‖On‖2是矩阵On的谱范数,其中 证明
由谱范数定义可得 (i) 当|r|≥1,由引理1.3有 因此
另一方面,设矩阵P和Q分别为: 则On=P°Q, 因此
(ii) 当|r|<1时, n+n|r|2(K2-1). 因此
另一方面,对矩阵P和Q有 因此
综上,
推论 2.2 设E=LEr(Un-1(x),Un-2(x),…,U1(x),U0(x))是r-左循环矩阵,则有： (i) 如果|r|≥1,那么 (ii) 如果|r|<1,那么
‖En‖2是矩阵En的谱范数,其中 证明方法与定理2.2证明相同,结果相同.
因此证明了所有的结论,当r=1时，可以得到Chebyshev多项式的关于循环矩阵的谱范数的上下界估计.同样的方法适用于所有的线性递推数列或多项式. 参考文献
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基金项目：国家自然科学基金(11371291) doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2018.04.008
包含Chebyshev多项式的r-循环矩阵的谱范数
