松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分150分，完卷时间120分钟） 2019．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，B? ▲ ．
2．若角?的终边过点P(4,?3)，则sin(3．设z?3???)= ▲ ． 21?i?2i，则z? ▲ ． 1?i52??4．?x2??的展开式中x4的系数为 ▲ ．
x??x2y25．已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上的点P满足PF1?2PF2，则94PF1? ▲ ．
6．若关于x,y的二元一次方程组
4y?m?2?mxx??my?m?1无解，则实数m= ▲ ．
7．已知向量a?(1,2)，b?(m,?3)，若向量(a?2b)∥b，则实数m? ▲ ． 8．已知函数y?f(x)存在反函数y?fx(x)，若函数
y?f(x)?2的图像经过点(1,6)，则函数y?f?1(x)?log2x的图像必过点 ▲ ．
9．在无穷等比数列{an}中，若lim(a1?a2?n??y(-4,3)1?an)?，
32O-1(0,-1)x则
a1的取值范围是 ▲ ．
10．函数y?ax?b的大致图像如图，若函数图像经过cx?d(0,?1)和(?4,3)两点，且x??1和y?2是其两条渐近线，则a:b:c:d? ▲ ．
1
11．若实数a,b?0，满足abc?a?b?c，a?b?1，则实数c的最小值为 ▲ ． 12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6，集合
22M?{aa?AiAj,(i,j?1,2,3,4,5,6,i?j)}，在M中任取两个元素m、n，则m?n?0的概率
为 ▲ ．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．
13．已知l是平面?的一条斜线，直线m?，则
(A) 存在唯一的一条直线m，使得l?m (B) 存在无限多条直线m，使得l?m (C) 存在唯一的一条直线m，使得l∥m (D) 存在无限多条直线m，使得l∥m 14．设x,y?R，则“x?y?2”是“x,y中至少有一个数大于1”的
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15．已知b、c?R，若|x?bx?c|?M对任意的x?[0,4]恒成立，则 (A) M的最小值为1 (B) M的最小值为2 (C) M的最小值为4 (D) M的最小值为8 16． 已知集合M?{1,2,3,2,10}，集合A?M，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍
M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S10，则S10?
(A) 45 (B) 1012 (C) 2036 (D) 9217
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，圆锥的底面半径OA?2，高PO?6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．
（1）求圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线CD与AB所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
2
ACOBDP
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
2已知函数f(x)?23sinxcosx?2sinx．
（1）求f(x)的最大值；
（2）在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)?0， b、a、c成等差数列，且AB?AC?2，求边a的长．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0、d1、d2、d3．当车速为
v（米/秒），且v?[0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路
面情况而变化，k?[0.5,0.9]）．
阶段 时间 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 t0 d0?20米 t1?0.8秒 d1 t2?0.2秒 d2 t3 距离
d3?12v米 20k（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式d(v)；并求k?0.9时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？
3
20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
设抛物线?:y?4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m,0)的直线l交?于不同的两点
2A和B．
（1）若FA?3，求A点的坐标；
（2）若m?2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部； （3）若FA?FM，且直线l1∥l，l1与?有且个公共点E，问：?OAE的面积是否存在最小值？求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知数列{an}满足：①an?N(n?N)；②当n?2(k?N)时，an?当n?2(k?N)时，an?an?1．记数列{an}的前n项和为Sn． （1）求a1,a3,a9的值；
（2）若Sn?2020，求n的最小值；
?（3）求证：S2n?4Sn?n?2的充要条件是a2n?1?1(n?N)．
k??k?ylAFMx只有一若存在，说明理
OBn； 2
4
5
上海市松江区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷数学试卷(含答案)
