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12 ?4?a2a ?4?
? 注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算.
3.7 利用Stokes公式化为第二型曲线积分
斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系.
定理：设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则
??(S?R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz， ??y?z?z?x?x?yL其中S的侧与L的方向按右手法则确定.
若diw?0，则存在向量势a,使得v?rota，故
vvvvv??(v?n)d????(rota?n)d????(a??)ds.
SSCv其中S为以C为边界线的分片光滑曲面，且S指定侧的单位向量n与C的环行方向
?构成右手系.
例1 计算
vvv(rota?n)d?， ??S222vvv2v其中S是球面x+y?z?9的上半部分，C是它的边界，a?2yi?3xj?zk.
解 边界曲线C为z?0平面内一圆x?y?9，则
22vvvv??(rota?n)d??蜒?(a??)d??SC?C2ydx?3xdy?z2dz.
令x?3cos?,y?3sin?,z?0，则
原式=2?2?0(?9sin?)d??3?9cos2?d??9?.
022?3.8 利用积分区间对称性的计算方法
若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则
??f(x,y,z)dydz
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? ???f(y,z,x)dzdx
S??f(z,x,y)dxdy
S ?1f(x,y,z)dydz?f(z,x,y)dxdy?f(y,z,x)dzdx. 3??S 若曲面S关于xoy(yoz或zox)平面对称，且S在xoy(yoz或zox)平面上半空间的部分曲面S1取定为上侧(前侧或右侧)，在xoy(yoz或zox)平面下半空间的部分曲面S2取定为下侧(后侧或左侧)，则 ? ? ?
??f(x,y,z)dxdy?0， f(x,y,z)关于z为偶函数，
S??f(x,y,z)dxdy=2??f(x,y,z)dxdy， f(x,y,z)关于z为奇函数；
SS1??f(x,y,z)dydz?0， f(x,y,z)关于x为偶函数,
S??f(x,y,z)dydz=2??f(x,y,z)dydz， f(x,y,z)关于x为奇函数；
SS1??f(x,y,z)dzdx?0， f(x,y,z)关于y为偶函数,
S??f(x,y,z)dzdx=2??f(x,y,z)dzdx， f(x,y,z)关于y为奇函数.
SS1
例1 求第二型曲面积分
111dydz?dzdx?dxdy， ??xyzSx2y2z2其中S为椭球面2?2?2?1的外侧.
abc
解 注意到被积曲面关于x,y,z具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分，则有
111dydz?dzdx?dxdy=I1?I2?I3， ??xyzS令
I3???S1dxdydxdy??????zzS2x2y2a?2b1xyc1?2?2ab22dxdy??12x2y2??1a2b2??1?c1?xy?a2b222dxdy
则
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I3?x2y2??1a2b2??2c1?xy?a2b222dxdy.
作广义极坐标变换x?arcos?，y?brsin?；则J?abr，
212?14ab?I3???abrd?dr?.
c001?r2c由轮换对称性知I1?dydz4bc?dzdx4ac?，，故 ?I??2????xaybSSI1?I2?I3?4?(bcacab??). abc3.9 第二型曲面积分的向量计算形式
据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系：
SSuvv??Pdxdz?Qdzdx?Rdxdy???[Pcos??Qcos??Rcos?]dS???AndS,Suvv其中A={P,Q,R}，n?{cos?,cos?,cos?}为有向曲面S上点(x,y,z)处的单
位法向量，dS是曲面的面积微元，正好符合第二型曲面积分的物理意义.又因为两
S
uvvuvv个向量值函数的数量积A?n是一个数值函数，所以??A?ndS是第一型曲面积分，当
曲面S方程为z?f(x,y)上侧时，单位法向量为
，曲面面积微元为1?(?f2?f2)?()dxdy，这就是说在此?x?y计算过程中，计算量较大的因子1?(所以第二曲面积分
?f2?f2实际不需要计算，)?()肯定要被约去，
?x?y??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
vvv?fv?fvv???(P?i?Q?j?R?k)?(??i??j?k)dxdy?x?yDxyuvv???A?ndSDxy
整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小.
例1 求
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I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322,
其中S为球面x2?y2?z2?R2的外侧.
解 此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算，则需要计算六个二重积分，较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求，被积函数的分母在原点等于零，不能直接对球体x2?y2?z2?R2和它的边界S运用高斯公式，因此需要以原点为中心，某个充分小的正数?为半径作球面S?:x?y?z??，内侧为正，用V?表示
2222球面x?y?z?R与球面S?:x?y?z??围成的空间区域. 对空间区域
22222222V?和它的边界SUS?，运用高斯公式，最后可化为
I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322???S?xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322，
还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便.
I???其中
xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322S???SuvvA?ndS，
uvA?21(x?y?z)2322vvv(xi?yj?zk)，n?1x2?y2?z2vvv(xi?yj?zk)，
I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)22322vvvvvv1???2(xi?yj?zk)(xi?yj?zk)dxdy
S(x?y2?z2)2
112dxdy??4?R?4? 2??x2?y2?R2R2R
利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算，避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定，且计算过程运算量较大的因子1?(?f2?f2)?()可以不需计算，所以其显著优点是物理意义明?x?y确，计算过程简单，适用于所有的第二型曲面积分的计算，值得掌握.
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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
