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例2 计算第二型曲面积分
I???f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy，
S 其中S是平面六面体(0?x?a,0?y?b,0?z?c)的表面并取外侧为正向，
f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数.
解 记 S1:x?a （前侧为正向），S2:x?0 （后侧为正向) 积分
??f(x)dydz在另外四个曲面上的积分为零，故
SDyzDyz??f(x)dydz???f(a)dydz???f(0)dydz?bc[f(a)?f(0)]
S 由于变量的对称性，类似可得
??g(y)dzdx?ac[g(b)?g(0)],
S??h(z)dxdy?ab[h(c)?h(0)],
S 所以
I???f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy
S ?bc[f(a)?f(0)]?ac[g(b)?g(0)]?ab[h(c)?h(0)]
3.5 利用高斯公式（Gauss)化为三重积分的方法
格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式.
定理：设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则
???(V?P?Q?R??)dxdydz?òPdydz?Qdzdx?Rdxdy， ???x?y?zS其中S取外侧，上式称为高斯公式.
例1 计算曲面积分
I???(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?ex?y)dxdy，
S其中S为曲面x?y?z?y?z?x?z?x?y?1的外侧面，外法线为正向. 解 由题意得知， P?x?y?z,Q?2y?sin(z?x),R?3z?ex?y，
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利用高斯公式，
?P?Q?R?1,?2,?3，则 ?x?y?zI????(V?P?Q?R??)dxdydz????(1?2?3)dxdydz?6???dxdydz. ?x?y?zVV其中，V为S包围的区域x?y?z?y?z?x?z?x?y?1.作旋转变换
u?x?y?z,v?y?z?x,w?z?x?y.则V?为S?包围的区域u?v?w?1，而V?是一个对称的八面体，它在uvw平面的第一卦限部分为u?v?w?1及坐标平面
u?0,v?0,w?0所围成的区域，且有
?(u,v,w)?1?(x,y,z)?1所以
1?111?(x,y,z)11?1?4，J???.
?(u,v,w)?(u,v,w)41?(x,y,z)1I?6
1111dudvdw?6??8???1?2. ???4432u?v?w?1例2 设f(u)有连续导数，计算
1y1y33xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z3]dxdy， ò??zzyzS 其中S为z?0的锥面x?y?z?0与球面x?y?z?1，x?y?z?4所围立 体的表面外侧(如图所示).
222222222
解 因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面S为闭曲面，考虑用高斯公式.
3∵P?x，Q? f()?y，R? f()?z3 在所围区域V上满足高斯公式的条
1zyz31yyz
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件（z?0的点不在V内)，故有
I????[3x2?V1'y1'yy22f()?3y?f()(?)?3z]dV 22zzyzz ?2223(x?y?z)dV ???V ?3 ?3 ????rV2?02?r2sin?drd?d?
?02?d??2sin?d??r4dr
093(2?2)?. 53.6 利用两类曲面积分之间的联系
??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
S
只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的），就可以 求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看 下例：
例1 计算积分
???[P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?]dSI???(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，
S其中S为半球：x?y?z?2Rx，(z?0)被柱面x?y?2rx，(R?0)截下的部分. (如图所示)
22222
v 解 S的法向量为：n?{x?R,y,z)，方向朝上，单位化得：
uuvno?{所以
x?R(x?R)2?y2?z2,y(x?R)2?y2?z2,z(x?R)2?y2?z2}?{x?Ryz,,} RRRcos??
x?Ryz，cos??，cos??. RRR第 18 页 共 25 页
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由两类曲面积分之间的关系式，有
I???(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy
S ? ???(y?z)Sx?Ryz?(z?x)?(x?y)]dS RRR??(z?y)dS
S积分曲面关于y?0对称，所以
??ydS?0
SSDxy2， zdS?Rcos?dS?Rdxdy?Rdxdy?R??r????????SS?I??Rr2
例2 计算
I???[x?f(x,y,z)]dydz?[f(x,y,z)?y]dzdx?[3f(x,y,z)?z]dxdy，
S其中f(x,y,z)为连续函数，S是平面2x?y?z?1在第四象限部分的上侧(如图所示).
解 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看能否消去抽象函数.
S：2x?y?z?1，S上任一点法向量的方向余弦为
cos??211,cos???,cos?? 666 由第一类与第二类曲面积分的关系，有
I???{[x?f(x,y,z)]cos??[f(x,y,z)?y]cos??[3f(x,y,z)?z]cos?}dS
S ???{[x?f(x,y,z)]S211?[f(x,y,z)?y](?)?[3f(x,y,z)?z]}dS 666第 19 页 共 25 页
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?1(2x?y?z)dS ??6S1dS ??6S ? ?16dxdy ??6Dxy ?Dxy??dxdy
11??1 221 ?
4 ?
例3 计算闭曲面积分：
xyzdydz?dzdx?dxdy， 333ò??rrrS其中r?x2?y2?z2，S是球面x2?y2?z2?a2外侧表面.
解 本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更为
v方便.因为球面外侧法向量n?{2x,2y,2z}，其方向余弦
xyzcos??,cos??,cos??，
rrr由第一、二类面积分的关系，得
xyzdydz?dzdx?dxdy 333ò??rrrS ?ò??{Sxyzcos??cos??cos?}dS 333rrr ?1222(cos??cos??cos?)dS 2ò??rS1dS 2ò??rS1dS 2ò??aS第 20 页 共 25 页
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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
