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便建立了两种不同类型曲面积分的联系.
3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法
在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes公式求解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
3.1 直接利用定义法进行计算
若R(x,y,z)在光滑有向曲面S:z?z?x,y?,?x,y??Dxy上连续,则
??R(x,y,z)dxdy存在,且有计算公式:
S?dxdy ??R?x,y,z?dxdy????R[?x,y,z?x,y??SDxy 其中Dxy表示S在xoy面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“?”号，取下侧时取“?”号.这一公式表明，计算曲面积分
??R(x,y,z)dxdy时，只要把其中变量
Sz换为表示∑的函数z?z(x,y)，然后Dxy在S的投影区域上计算二重积分，并考虑到符
号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.
类似地，如果曲面?的方程y?y(z,x)，则
??Q(x,y,z)dzdx???Q[x,y(z,x),z]dzdx
SDzx如果曲面∑的方程为x?x(y,z),则
??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz
SDyz例1 计算积分：
??xyzdxdy
S其中S是球面x2?y2?z2?1在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图1)
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解 设S??1??2,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:
?1∶ z1= 1?x2?y2 ?2∶ z2=—1?x2?y2 它们在xoy面上的投影区域Dxy都是单位圆在第一象限的部分. ∴
??xyzdxdy???xyzdxdy+??xyzdxdy
S?1?2
???xy1?x2?y2dxdy???(?xy1?x2?y2)dxdy
DxyDxy ?2Dxy??xy?2001?x2?y2dxdy1
?2 ?
?d??r3cos?sin?1?r2dr
2 15
图1
计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口诀：“一代二投三定向”.请看下例：
例2 计算:
I???x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，
S其中曲面S为球面x2?y2?z2?1限于x2?y2?x?0，z?0内的部分外侧 (如图2). 解 对于
2x??dydz，要将S投影到yoz面上，且S方程表示 S为 x?1?y?z,取前侧,由x?y?z?1,x?y?x?0，消去x得
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2222222研究生入学考试重点考点
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y??z1?z2，因此投影区域Dyz：—z1?z2?y?z1?z2，于是
2x??dydz S ?Dyz222(1?y?z)dydz ?? ?2dz0??11z1?z20(1?y2?z2)dy
3132 ?2?[z(1?z)?z(1?z)]dz
03 ?32238 105
计算
2y??dzdx,要将S投影到zox面上，此时S方程表示为 S再把S分为左片(即y?0的部分)且取左侧和右片y??1?x2?z2(不是单值的)，
(即y?0的部分)且取右侧，S在zox面上投影域为Dzx：1?x≤z≤1?x2(注意投影区域不是一条曲线)，因此
2y??dzdx S???y2dzdx
S左???y2dzdx
S右 ?Dzx222222+?(1?x?z)dzdx(1?x?z)dzdx ????Dzx ?0
对于
222z??dxdy,要将S投影到xoy面上，投影域为Dxy：x?y?0，此时S方S程应为z?1?x?y，且取上侧，于是
222z??dxdy=SDxy222(1?x?y)dxdy= ???2?d??20cos?0(1?r2)rdr?5385?，故I???. 3210532
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图2
3.2 利用参数方程的计算方法
如果光滑曲面S由参数方程给出：
S:x?x(u，v),y?y(u，v)，z?z(u，v），（u，v)?D.
若在D上各点他们的函数行列式
?(y,z)?(z,x)?(x,y),,不同时为零，则分别有
?(u,v)?(u,v)?(u,v)
??Pdydz????P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))SD?(y,z)dudv?(u,v) (1)
??Qdzdx????Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))SD?(z,x)dudv (2)
?(u,v)
??Rdydz????R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))SD?(x,y)dudv (3)
?(u,v) 注 (1),(2),(3)三式中的正负号分别对应曲面S的两个侧，特别当uv平面的正方向对应于曲面S所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
S
????P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D?(y,z)dudv
?(u,v)?(z,x)dudv
?(u,v)?(x,y)dudv
?(u,v) ???Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D ???R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D
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(4)
?z?x,y?，，(xy)?D，则S可以看成参数为x,y的参数方程确定的曲面， 例如若S为：z 则由于
?(y,z)?(z,x)?(x,y)??zx,??zy,?1，
?(x,y)?(x,y)?(x,y) 所以
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
S
????P(x,y,z(x,y))(?zx)?Q(x,y,z(x,y))(?zy)?R(x,y,z(x,y))dxdy
D
由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用 的方法更简便.
下面举例说明：
例 1 计算
??xdydz，
S3x2y2z2其中S为椭圆面2?2?2?1的上半部分并选取外侧.
abc 解 把曲面表示为参量方程：
x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?
(0??? 由(1)式有
其中
?2,0???2?).
3333xdydz??asin?cos??Jd?d?, ????SD???(y,z)bcos?sin?J???csin??(?,?)bsin?cos?02=bcsin?cos?，
积分是在S的正侧进行.由上述的注，(4)式右端正号，即
3x??dydz S ?
D????a3sin3?cos3??bcsin2?cos?d?d?
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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
