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第二类曲面积分的计算方法
赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量计算形 式
1 引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.
2 预备知识
2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景)
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为
vvvvv(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k,
∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量?.
v 若?为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，?指定侧的单位法向量
vvvvn?cos?i?cos?j?cosk
则
vvv??Svcos??S?v?n.
v 若?为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量?.
(1) 分割
将?任意分成小块?Si(i?1,2…,n),?Si同时代表其面积.
(2) 近似
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vvv ?Mi(?i,?i,?i)??Si，以点Mi处的流速vi?v(Mi)和单位法向量ni分别代替
?Si上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过?Si指定侧的流量的近似值：
vv????Si?vi?ni(i?1,2,…,n).
(3) 求和
vv ???vi?ni??Sini?1
(4) 取极限
设T?1?i?n
max{?S的直径},则?=limivvv?ni??Si.T?0?ini?1
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.
2.1.2 定义
设P，Q，R为定义在双侧曲面S上的函数,在S所指定的一侧作分割T,它max把S分为n个小曲面S1,S2,…，Sn,分割T的细度T?1?i?n{?Si的径}，max?Siyz,?Sizx,?Sixy,分别表示 Si在三个坐标面上的投影区域T?1?i?n{?Si的直径}，
的面积，他们的符号由Si的方向来确定.若Si的法线正向与z轴正向成锐角时,Si在xoy平面的投影区域的面积?Sixy为正.反之,若Si法线正向与z轴正向成钝角时,他在平面的投影区域xoy的面积?Sixy为负在各个小曲面.Si上任取一点(?i,?i,?i)n.
lim 若
T?0?P(??,?)?Sii,iii?1yz?limT?0?Q(??,?)?Si,iini?1izx?limT?0?R(??,?)?Sii,iini?1xy 存在，
且与曲面S的分割T和(?i,?i,?i)在Si上的取法无关，则称此极限为函数P，Q，R.在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
或者
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??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy.
SSS据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
v?(P,Q,R)在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
????P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
又若，空间的磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),则通过曲面S的磁通量
H???P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
若以?S表示曲面S的另一侧，由定义易得??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?S
????P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS2．2 第二型曲面积分的性质
v 性质1 (方向性) 设向量值函数v在定向的光滑曲面S上的第二型曲面积分
存在.记?S为与S取相反侧的曲面，则v在?S上的第二型曲面积分也存在，且成立
vvvvvv??v?ndS????v?ndS.注意这个等式两边的n是方向相反的.
?SS
性质2 （线性性） 若有
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy (i?1,2,…，k)存在，则
iiiS??(?cP)dydz?(?cQ)dzdx?(?cR)dxdy=?c??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy，
iiiiiiiiiiSi?1i?1i?1i?1Skkkk2，?，k）其中c（是常数. ii?1， 性质3 (曲面可加性) 若曲面S是由两两无公共内点的曲面块S1,S2,…，Sk所组成，且
i?1,2?，k）??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy（ Si
存在，则有
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??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
????P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyi?1Sik
2.3 第二型曲面积分的数量表达式
uv设A(x,y,z)?{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}vn?{cos?,cos?,cos?},则
vuvA(x,y,z)?ndS?(Pcos??Qcos??Rcos?)dS
其中dS是曲面S的面积元素.
uuvv记dS?n?dS?{cos?dS,cos?dS,cos?dS}?{dydz,dzdx,dxdy}，称dS为曲面
S的面积微元向量.则
uvvuvA?ndS?A?dS?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy,从而
uvvA???ndS???Pdydz?Qdzdx?RdxdySSS.
即
uvv??A(x,y,z)?ndS???Pdydz?Qdzdx?RdxdyS，
dydz是dS在yoz面上的投影；
dzdx是dS在zox面上的投影；dxdy在dS在xoy面上的投影. 他们的取值可正、
可负、也可为零.如当cos??0时，dxdy取符号.
特殊形式：
??P(x,y,z)dydz称为P对坐标y,z的曲面积分；
S
??Q(x,y,z)dzdx称为Q对坐标z,x的曲面积分；
S??R(x,y,z)dxdy称为R对坐标x,y的曲面积分.
S2.4 介绍两类曲面积分之间的联系
与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行.因而有
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??SR(x,y,z)dxdy?limT?0?R(?,?,?)?Siiii?1nixy (1)
由曲面面积公式?Si?1dxdy，其中?是曲面Si的法线方向与z轴正向??cos?Sixy的交角，它是定义在Sixy上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以?是锐角 .又由S是光滑的，所以cos?在闭区域Sixy上连续.应用中值定理，在Sixy内必存在一点，使这点的法线方向与z轴正向的夹角
?i?满足等式?Si?1?Sixy或?cos?i?Sixy?cos?i???Si.
于是R(?i,?i,?i)?Sixy?R(?i,?i,?i)cos?i??Si. n个部分相加后得
?R(?,?,?)?Siiii?1nixy??R(?i,?i,?i)cos?i??Si (2)
i?1n现在以cos?i表示曲面Si在点(xi,yi,zi)的 法线方向与z轴正向夹角的余弦，则由
cos?的连续性，可推得当T?0时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到
??Q(x,y,z)dzdx???Q(x,y,z)cos?dS (3)
SS这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角?改为???.因而cos?也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.
同理可证：
??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dSSSSS
??Q(x,y,z)dzdx???Q(x,y,z)cos?dS (4)
其中?,?分别是S上的法线方向与x轴正向和与y轴正向的夹角.一般地有
??P(x,y,z)dxdz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS
???[P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?]dSS （5）
这样在确定余弦函数cos?,cos?,cos?之后，由(3),(4),(5)式，
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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
