学案37 合情推理与演绎推理
自主梳理
归纳推理 全部对象 部分 个别 类比推理 这些特征
特殊到特殊 ①一般原理 ②特殊情况 ③特殊情况 一般 特殊 自我检测
1．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
2．C [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．] 3．1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.
4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 5．一切奇数都不能被2整除 大前提 2100＋1是奇数 小前提
所以2100＋1不能被2整除 结论 课堂活动区
例
1 解题导引 归纳分为完全归纳和不完全
归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．
2a12
解 在{an}中，a1＝1，a2＝＝，
2＋a13
2a2122a32a3＝＝＝，a4＝＝，…，
2＋a2242＋a35
2
所以猜想{an}的通项公式为an＝. n＋1
这个猜想是正确的，证明如下：
2an
因为a1＝1，an＋1＝，
2＋an2＋an11
所以＝＝＋，
an2an＋12an
1
即
11?1?1
－＝，所以数列?a?是以＝1为首项，
a1?n?an＋1an21
1
为公差的等差数列， 2
1111所以＝1＋(n－1)×＝n＋，
an222
2
所以通项公式an＝.
n＋1
3
变式迁移1 解 猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
4证明如下：
左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] 31??3cos α＋1sin α?
cos α－sin α
22?2??2?
313
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．
444＝sin2α＋?
例
2 解题导引 类比推理是根据两个对象有
一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分
数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．
解
类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.
papbpcpd
则有＋＋＋＝1.
hahbhchd
证明如下：
1S·p
pa3△BCDaVP—BCD＝＝， ha1VA—BCD
S·h3△BCDa
pbVP—CDApcVP—BDApdVP—ABC
同理有＝，＝，＝，
hbVB—CDAhcVC—BDAhdVD—ABCVP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABC＝VA—BCD， papbpcpd∴＋＋＋ hahbhchd
VP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABC＝＝1.
VA—BCD
变式迁移2 在三棱锥A—BCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB＝a，AC＝b，
a2＋b2＋c2
AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝
2
例
3 解题导引 在演绎推理中，只有前提(大
前提、小前提)和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提 所以△ADB是直角三角形．——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 而M是Rt△ADB斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，——小前提
1
所以DM＝AB.——结论
21
同理EM＝AB，所以DM＝EM.
2
变式迁移3 解 证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．
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高考数学(理)一轮复习导学案
