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第2讲 函数的单调性与最值
[基础
题组练]
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
2
B．f(x)＝x－3xD．f(x)＝－|x|
A．f(x)＝3－xC．f(x)＝－1 x＋1解析：选C.对于A，当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
对于B，当x∈?0，?时，f(x)＝x－3x为减函数，
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??3??
??2
当x∈?，＋∞?时，f(x)＝x－3x为增函数；
?1为增函数；x＋13?2对于C，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－
对于D，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1，2] C．[0，2]
B．[－1，0]D．[2，＋∞)
??x2－2x，x≥2，解析：选A.由于f(x)＝|x－2|x＝?结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．
?－x2＋2x，x<2.?
3．已知函数f(x)＝x＋x－a(a>0)的最小值为8，则实数a＝( )
B．2D．8
A．1 C．4
3
解析：选B.由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞)．因为函数f(x)在[a，＋∞)上单调递
增，所以f(x)min＝f(a)＝a＝8，解得a＝2.故选B.
2
3
4．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a B．1D．12 x∈[－2，2]的最大值等于( ) A．－1 C．6 解析：选C.由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 当1 3 3 因为f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在定义域内都为增函数， 所以f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6. 3 1??，x≥1，5．函数f(x)＝?x的最大值为________． ??－x2＋2，x<1精选中小学试题、试卷、教案资料 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时， 易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 2 1x 1，x>0，??2 6．设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________． ??－1，x<0，解析：由题 x2，x>1，??意知g(x)＝?0，x＝1，函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)． ??－x2，x<1. 1) 答案：[0，7．已知函 数f(x)＝－(a>0，x>0)． 11ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； ????(2)若f(x)在?，2?上的值域是?，2?，求a的值． ?? 解：(1)证明：任取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－－＋ ＝ 1?21?21111ax1ax2x1－x2，因为x1>x2>0，x1x2所以x1－x2>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ??(2)由(1)可知，f(x)在?，2?上为增函数， ? 所以f??＝－2＝， 1?2?1?1?2?a1211f(2)＝－＝2， a2 解得a＝. 25 8．已知f(x)＝ x(x≠a)．x－a(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：设x1 精选中小学试题、试卷、教案资料 则f(x1)－f(x2)＝x1x22（x1－x2）－＝.x1＋2x2＋2（x1＋2）（x2＋2）因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1) 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1 ＝ x1x2－ x1－ax2－aa（x2－x1）.（x1－a）（x2－a）因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1. [综合题组练] 综上所述，a的取值范围为(0，1]． ??3（a－3）x＋2，x≤1，1．已知函数f(x)＝?对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则 ?－4a－ln x，x>1? B．(－∞，3) D．[1，3) 实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3] C．(3，＋∞) 解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递 ??a－3<0，减，所以?解得1≤a＜3.故选D. ?3（a－3）＋2≥－4a，?2．(应用型)已知函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值 B．(10，＋∞) C.?范围是( ) A．(0，10) ?1，10??1?D.?0，?∪(10，＋∞)??10??10?解析：选C.因为g(lg x)>g(1)，g(x)＝－f(|x|)，所以－f(|lg x|)>－f(1)，所以f(|lg x|) 又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以|lg x|<1，所以－1 所以 110 解析：函数y＝3．已知函数y＝ 2－x，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是________．x＋12－x3－x－13＝＝－1，且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；根据x＋1x＋1x＋1 题意x∈(m，n]时y的最小值为0，所以－1≤m＜2. 精选中小学试题、试卷、教案资料 答案：[－1，2) ??a，a≤b，4．(创新型)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x， ?b，a>b.? 则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． ??log2x，0 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案：1 5．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． 解：f(x)＝?a－?x＋，1a??1?a?1a当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数， 所以g(a)＝f(0)＝； 1a1a 当0 所以g(a)＝f(1)＝a； 1a当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1. a，0 ，a≥1??a 2 1＝1，a所以当a＝1时，g(a)取最大值1. ??f（x），x>0，6．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a>0)，F(x)＝?若f(－1)＝0，且对任意实数x均 ?－f（x），x<0.? 有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 解：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1，所以f(x)＝ax＋(a＋1)x＋1. 因为对任意实数x均有f(x)≥0恒成立， 2 ???a>0，?a>0，?所以 所以??Δ＝（a＋1）2－4a≤0，???（a－1）2≤0.精选中小学试题、试卷、教案资料 所以a＝1，从而b＝2，所以f(x)＝x＋2x＋1， ??x2＋2x＋1，x>0，所以F(x)＝??－x2－2x－1，x<0.?2 2 2 (2)g(x)＝x＋2x＋1－kx＝x＋(2－k)x＋1. 因为g(x)在[－2，2]上是单调函数， 所以 k－2k－2≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.22故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .
课标通用版2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值检测文
