2020高考数学二轮复习课时跟踪检测 08
立体几何大题练 理数
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=2，
且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；
(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
2.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱
AB， BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．
BG
(1)当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE?
BB1
(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值．
3.如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所
示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE； (2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值．
4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，
平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值； (3)求二面角H-BD-C的大小．
5.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面
ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE，且EF=λFA.
(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明； (2)当λ=1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面
ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB.
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若二面角P-CD-A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
7.如图，已知平行四边形ABCD与△EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直，且∠
BAD=60°，AB=MN=2AD=2，EM=EN，F为MN的中点．
(1)求证：MN∥AD；
(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求二面角M-AB-C的余弦值．
8.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=2，AB=1，如图①所示，将△ABD沿BD
折起到△PBD的位置得三棱锥P-BCD，如图②所示．
(1)求证：BD⊥PC；
(2)当平面PBD⊥平面PBC时，求二面角P-DC-B的大小．
答案解析
1.解：
(1)证明：由题意知，PA=PD=AD，F为PD的中点， 可得AF⊥PD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD.
又AF?平面PAD，∴CD⊥AF， 又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD，又AF?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG， ∵PA=PD=AD，∴OP⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，OP?平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.
分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
3?3??1?1
则A(1,0,0)，C(－1,2,0)，E?－，1，?，F?－，0，?，
2?2??2?2
―→?33?―→
AF=?－，0，?，FE=(0,1,0)．
2??2
设平面AEF的法向量为m=(x，y，z)， ―→??m·AF＝0，
则?
―→??m·FE＝0，
??－3x＋3z＝0，
2即?2
??y＝0，
可取m=(1,0，3)，为平面AEF的一个法向量．
同理，可得平面ACE的一个法向量为n=(3，3，1)．
m·n1×3＋3×121
cos〈m，n〉===.
| m |·|n|72×7∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为
2.解：
BG1
=，即G为BB1的中点时，平面CDG⊥平面A1DE. BB12
证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，
1
所以DE∥AC且DE=AC，
2
又AC∥A1C1，AC=A1C1，
1
所以DE∥A1C1，DE=A1C1，
2
故D，E，C1，A1四点共面． (1)当
1
如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中，tan∠C1EC=2，tan∠BCG=，
2
21. 7
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 08立体几何大题练 理数(含答案解析)
