专题11 函数与方程
基础知识要夯实
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 (x1,0)，(x2,0) _2_ (x1,0) _1_ 无 0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 基本技能要落实 （一）判一判断（对的打“√”，错的打“×”） (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( ) 【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
(二)选一选
1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x f(x) 1 －4 2 －2 3 1 4 4 5 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( ) A．(1,2) C．(3,4)
B．(2,3) D．(4,5)
【答案】B
【解析】由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)内有零点． 2．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点有( ) A．0个 C．2个 【答案】B
【解析】由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3. 3．函数f(x)＝ln x－A．(1,2) C.?,1?和(3,4) 【答案】B
【解析】易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－的零点所在的大致区间是(2,3)． (三)填一填
B．1个 D．3个
2的零点所在的大致区间是( ) x B．(2,3) D．(4，＋∞)
?1??e?2＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)3?log2(x?m),x?2,4．已知2是函数f(x)＝?x的一个零点，则f[f(4)]的值是________．
2,x?2?【答案】3
【解析】由题意知log2(2＋m)＝0，∴m＝－1，∴f[f(4)]＝f(log23)＝2
log23＝3.
5．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】?,1?
【解析】当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得
?1??3?1 ?1??3?核心素养要做实 考点一 函数零点所在区间及个数的判断 考法(一) 函数零点所在区间的判断 [典例精析] [例1] (2020·河南阶段性测试)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3) 【答案】C 【解析】法一：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选C. B．(1,2) D．(3,4) 法二：(数形结合)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内． 【思维升华】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考法(二) 函数零点个数的判断 [典例精析] [例2] (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内零点的个数是( ) A．0 C．2 【答案】B 【解析】 (1)因为f(0)＝1＋0－2＝－1， f(1)＝2＋13－2＝1，故f(0)·f(1)<0， 又函数f(x)在(0,1)内单调， 故f(x)在区间(0,1)内零点的个数是1. (2)设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]，当m取最小值时，函数g(x)＝2|x1|＋m＋1的零点个数为( ) A．0 C．2 【答案】C 【解析】 因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]， 所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7， B．1 D．3 － B．1 D．3
专题11 函数与方程-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通
