华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 ------------------期末考试试卷（A卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思
-- ------学号：---- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- 线 名：----------学生姓---- -- -- --- -- -- -- -- 封 ---年级：---- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- 密 -专业：---- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- ----）：----------院（系--------- 题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15151060100得分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。 （ 对 ）2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。 （ 错 ）3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类?具有连续势。 （ 错 ）4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。 （ 对 ） 5、若fn(x)（n?1，2，?）和f(x)都为可测集E上的可测函数，且limn??fn(x)?f(x)，a.e.于E，则fn(x)?f(x)，x?E。 （ 错 ） 得分评阅人二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi定理） 答：设E是Lebesgue可测集，fn(x) (n?1，2，?)为E上的非负可测函数，若{fn(x)}是单调递增的，记f(x)?limn??fn(x)，则limn???fn(x)dx?E?f(x)dx。E2、R中开集的结构定理n答：R中的任一非空开集总可表示成R中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。（或R中的任一开集或为空集或可表示成R中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。）nnnn3、R中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义）n答：设E?R，如果对任意T?R，总有nnm*T?m*(T?E)?m*(T?Ec)则称E为R中的Lebesgue可测集，或称E是Lebesgue可测的。n4、F.Riesz定理（黎斯定理）答：设E为Lebesgue可测集，fn(x) (n?1，2，?)和f(x)都是E上的几乎处处有限的可测函数，如果fn(x)?f(x) x?E，则存在{fn(x)}的一个子列{fnk(x)}，使得limfnk(x)?f(x)a.e.于E。k??5、有界闭区间[a,b]上绝对连续函数的定义答：设f(x)是定义在有界闭区间[a,b]上实函数，如果???0，存在??0，使得对[a,b]内任意有限个互不相交的开区间(?i,?i) i?1，2，?，n，只要它们的总长n?(?i?1ni??i)??，总有?i?1f(?i)?f(?i)??。则称f(x)是有界闭区间[a,b]上绝对连续函数。 第 1 页(共 3 页)
得分 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------评阅人三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）??sinx,x?D0 设D0为[0,?]中的零测集，f(x)??x3 ，求 ??e,x?D0?[0,?]f(x)dx。解：由题设f(x)?sinx，a.e.于[0,?]，而sinx在[0,?]上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得??[0,?]f(x)dx??[0,?]sinxdx?(R)?sinxdx?(?cosx)0?0?2。得分评阅人四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）1、设F为R中的F?集，证明：必存在R中的一列单调递增的闭集{F}nn?kk?1，使得F??Fk。k?1??}，使得证明：因为F为R中的F?集，所以一列闭集{Fkk?1n??F??Fk?k?1?，由闭集的性质知F是闭集，且{F}单调递增取Fk??Fikkki?1k?1?)??F??F。?Fk??(?Fik??k?k?1i?1k?1
2、证明：R中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。n证明：记E为R中互不相交的开区间所构成的集族，对任意I?E，由有理点的稠密性，I中必存在有理点，取其中的一个有理点记为rI?I，并记B?{rII?E}?Q，于是 B必为至多可数集。 作E到B的映射?如下：nn?:E?BI??(I)?rI由于E中任意两个不同的I1和I2不相交，所以rI1?rI2，于是?是E到B的单射（实际上还是一一映射），所以 E?B?Q，故E也是至多可数集。n3、设f(x)是(??,??)上的实值函数，且f(x)在(??,??)上的任一有限区间上都可测，则f(x)在(??,??)上也可测。证明：因为 (??,??)??[?n,n]，而f(x)是[?n,n]上的可测函数，n?1?所以 由可测函数的性质得f(x)在(??,??)上也可测。 第 2 页(共 3 页)
4、用Fubini定理证明：若f(x,y)为R=(??,+?)?(??,+?)上的非负可测函数，则 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------2???0dx?f(x,y)dy??0x??0dy???yf(x,y)dx。0?x???0?y????f(x,y),(x,y)?D证明：记D?{(x,y)，}?{(x,y)}，令F(x,y)??0?y?xy?x???0,(x,y)?D?由题设易知F(x,y)也是R上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理2???0dx?f(x,y)dy??0x????dx???????F(x,y)dy???R?F(x,y)dxdy??02????dy???F(x,y)dx??dy???yf(x,y)dx。5、设E是R中的可测集，若（1）E??Ek，其中Ek为可测集，E1?E2??；k?1n?（2）f(x)，fn(x)(n?12?)都是E上的可测函数，且limfn(x)?f(x) a.e.于E；n??（3）存在E上的Lebesgue可积函数F(x)，使得?n，fn(x)?F(x) (x?E)。证明：f(x)在E上也Lebesgue可积，且 limn??En?fn(x)dx??f(x)dx。Efn(x)?fn(x)??En(x)，由题设知lim?证明：记?fn(x)?f(x) a.e.于E（事实上?x?E，存在n0，n??fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)。当n?n0时，总有x?En，从而?En(x)?1，于是?）fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)?F(x)，F(x)在E上Lebesgue可积 又 ?所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到f(x)dx????nEEfn(x)??En(x)dx?En?fn(x)dx可得lim?fn(x)dx?lim??fn(x)dx??f(x)dx。n??Enn??EE
实变函数专升本合集
