课时跟踪检测(三十八)
[高考基础题型得分练]
14
1．[2017·新疆乌鲁木齐二诊]已知x，y都是正数，且xy＝1，则＋的最小值为( )
xyA．6 C．4 答案：C
B．5 D．3
14
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
ab 答案：C
B．4 D．5
141?14?1??b4a??1?
解析：依题意，得＋＝?＋?·(a＋b)＝?5＋?＋??≥?5＋2
ab2?ab?2??ab??2?b4a?9
·?＝，当ab?2
a＋b＝2，??b4a且仅当?＝，
ab??a>0，b>0，
24149
即a＝，b＝时等号成立，即＋的最小值是.
33ab2
3．[2017·山西晋中模拟]直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x＋y＋4x－2y－1＝012
的面积，则＋的最小值为( )
22
abA．3＋22 C．6＋42 答案：C
B．4＋23 D．83
解析：∵直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x＋y＋4x－2y－1＝0的面积， ∴圆x＋y＋4x－2y－1＝0的圆心(－2,1)在该直线上，∴－2a－2b＋1＝0，即a＋b＝1， 2
12?12?b2a?b2a?∴＋＝2?＋?(a＋b)＝2?3＋＋?≥6＋42，当且仅当＝时等号成立，故选C.
2
2
22
ab?ab??
ab?
ab(－6≤a≤3)的最大值为( ) A．9
9
B． 232D．
2
C．3 答案：B
解析：解法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，3－aa＋6≤
3－a3－a＋a＋693
＝，当且仅当a＝－时等号成立．
222
解法二：a＋6＝
3?3?2819
－?a＋?＋≤，当且仅当a＝－时等号成立．
2?2?42
11
5．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
xyA．4 C．2 答案：D
11x＋y2xy2解析：＋＝≥＝，
B．3 D．1
xyxyxyxy当且仅当x＝y时等号成立．
∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4. 112∴＋≥＝1.
xyxy6．[2017·浙江冲刺卷]二次函数f(x)＝ax＋2x＋c(c∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋
2
a＋1
cc＋1
的最小值为( ) aA．2 C．4 答案：C
4ac－4
解析：依题意知a>0，且＝0，则ac＝1，
4a从而
B．2＋2 D．2＋22
a＋1c＋1ac11?ac?
＋＝＋＋＋＝?＋?＋(a＋c)≥2cacaca?ca?
ac·＋2ac＝4，当且仅当a＝cca＝1时等号成立，故选C.
11
7．已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy( )
44A．有最大值e C．有最小值e 答案：C
111?ln x＋ln y?2
解析：∵x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，∴ln x·ln y＝≤? ?，
2444??∴ln x＋ln y＝ln xy≥1?xy≥e.
B．有最大值e D．有最小值e
xy21222
8．设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大
zxyz值为( )
A．0 答案：B
解析：由已知得z＝x－3xy＋4y，(*) 则
2
2
B．1 D．3
xyxy1＝2≤1， 2＝
zx－3xy＋4yx4y＋－3yxxyzyyy2121112
当且仅当x＝2y时等号成立，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y，所以＋－＝＋－2
?1?2
＝－?－1?＋1≤1.
?y?
9．[2017·河南开封模拟]已知圆x＋y＋2x－4y＋1＝0，关于直线2ax－by＋2＝0(a，
2
2
b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
1??答案：?－∞，? 4??
解析：∵圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a＋b＝1.∴ab≤?1
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2
10．[2017·广东东莞模拟]函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，12
若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．
?a＋b?2＝1，
??2?4
mn答案：8
解析：函数loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.
12?12?n4mn4m11
∴＋＝?＋?(2m＋n)＝4＋＋≥8，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立． mn?mn?mnmn4211．[2017·山东潍坊模拟]已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)＋(y－1)＝2相切，则
2
2
a2
b＋1
的取值范围是________．
答案：(0，＋∞)
解析：由题意知，(b,1)到x＋y＋a＝0的距离为2，即＝1－b，
b＋1＋a2
＝2，得a＋b＝1，a
1－b∴＝b＋1b＋1＝b＋1＋
a2
2
＝b＋1
2
－4b＋1＋4
b＋1
4
－4≥0， b＋1
当且仅当b＝1，a＝0时等号成立， 又a＞0，b＞0，所以
a2
b＋1
＞0.
12．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 答案：2
解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即时等号成立)，
即
x＋22xy≤2(当且仅当x＝2yx＋yx＋22xy的最大值为2.
x＋yx＋22xy，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
x＋y[冲刺名校能力提升练]
又λ≥
1112
1．[2017·安徽安庆二模]已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
ababA．4 C．8 答案：B
解析：由a＋b＝
1
B．22 D．16
a＋
1
b＝
a＋b12
，得ab＝1，则＋≥2abab12
·＝2
ab2
2??
?当且仅当a＝，b＝2时等号成立?.
2??
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 C．100件 答案：B
800
解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用B．80件 D．120件
xxx800x是元，则＋≥2 8x8
800x800x·＝20，当且仅当＝，即x＝80时等号成立，∴每批生x8x8
产产品80件．
3．[2017·重庆巴蜀中学模拟]若正数a，b满足a＋b＝2，则( )
A．1 C．9 答案：B 解析：
14?1＋4?a＋1＋b＋1 ＋＝??a＋1b＋1?a＋1b＋1?4
9
B． 4D．16
14＋的最小值是a＋1b＋1
b＋14a＋1?1?
＋＝?1＋4＋ a＋1b＋1?4??
19
≥(5＋24)＝， 44当且仅当
b＋14a＋1
＝， a＋1b＋1
15
即a＝，b＝时等号成立，故选B.
33
4．[2017·广东广州一模]已知实数x，y满足x＋y－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
答案：2
解析：因为x＋y－xy＝1，所以x＋y＝1＋xy. 所以(x＋y)＝1＋3xy≤1＋3×?即(x＋y)≤4， 解得－2≤x＋y≤2. 所以x＋y的最大值为2.
5．[2017·河南开封模拟]已知a，b都是正实数，且a＋b＝1. 11
(1)求证：＋≥4；
2
22
2
2
2
2
2
?x＋y?2，
??2?
ab?1?2?1?2
(2)求?a＋?＋?b＋?的最小值．
?
a?
?b?
(1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋b∴＋＝＋ abbaabab＝＋＋2≥2
ba·＋2＝4， ab
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测38文新人教A版!
