第10讲 三角恒等式与三角不等式（一）
【赛点突破】
1． 2． 3．
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
同角函数基本关系：平方关系，倒数关系，商关系。 三角公式：和差倍半，和差化积，积化和差。
【范例解密】
sinx?tanx?x。 2分析与解：（1）如图，在单位圆中，
例1若x是锐角，证明：（1）sinx?x?tanx；（2）
S?OAB?S扇形OAB?S?OBC，即sinx?x?tanx；
ACOxsinx?tanx2 （2）???xxx21?tan21?tan21?tan4222xx?2tan?2??x。
22注：（2）的变形值得回味。
tantan2tan例2若1?sinx1?sinx???2tanx，求x的取值范围。
1?sinx1?sinxx2x2DB解：原式左边=
2k??1?sinx1?sinx?2sinx??，故cosx?0或者sinx?0，则 cosxcosxcosx?22注：本题非常容易漏解，考查思维的严谨性。
?x?2k???,k?Z或者x?k?,k?Z。
例3求f(x)?sin(?x)?cos(?x)?215(?x?)的最小值。 44xsin(?x?)?2554分析与解：f(x)?，分母当x?取得最大值，分子当x?取得44x5原式取得最小值。 4注：解决问题的思维值得借鉴。
1?tan10的值。 例4求
cos50?最小值，故x? 1
分析与解：
1cos802cos40?cos80cos40?2cos60cos20 ???sin40sin80sin80sin80?2cos30cos10?3。
sin80注；tan10?cot80是一个很好的变形，另外2cos40?cos80?2cos(120?80)
?cos80?2sin120sin80是一个更启发思路的方法。
22??例5f(x)?sin2x?(22?2a)sin(x?)?2a?3,x?[0,]，若f(x)??42cos(x?)4恒成立，求a的取值范围。
分析与解：设sinx?cosx?t?[1,2]，则sin2x?t2?1，原不等式化为
422，即(2?t)(t??a)?0，故a?t?恒成立，则a?3。 ttt注：其中的三角换元是常用的重要方法，高次方程的分解因式是稍高的技巧。 例6?ABC中，求cosA?cosB?cosC的最大值。
A?BA?BCC分析与解：原式?2coscos?cosC?2sin?1?2sin2?
2222C13?3?2(sin?)2?，故当A?B?C?时原式的最大值是。
22232注（1）如果求cosA?cosB?cosC的值域呢？ t2?(2?a)t?2a?2?（2）cosA?cosB?cosC?cos?3?2cosA?B?2cos2C?2?3?
3?3是很好的方法，由此如何解决sinA?sinB?sinC的42最值问题，并和其他的方法比较。
4cosA?B?C??asin例7a,b是正实数，且
?55?tan8?，求b的值。
??a15acos?bsin55tan?bcos??tanxb?8?8?5分析与解：设?tanx,x是锐角，则，即tan(x?)?tan，?tan?a515151?tantanx5?8??b,x?，?3。 故x??5153a注：本解法比较灵巧，还有多种基本的方法，请自己探索。
2
?例8实数x,y满足4x2?4y2?5xy?5,S?x2?y2，求y?1Smax?1Smin的值。
分析与解：设x?Scos?,y?Ssin?，则4S?5Ssin?cos??5,S?故Smax?10，
8?5sin2?1010,Smin?。 313注：本方法的换元很有启发性，还可以换元x?u?v,y?u?v。 例9求y?4?2x2?x1?x2的最值。
分析与解：联想到三角换元，设x?sint(t?[???,])，则
2215y?3?cos2t?sintcost?3?cos2t?sin2t?3?sin(2t??)，其中tan??2,?为
24锐角，故原式最大值是3?55，最小值是3?。 22注：注意三角换元时角的范围。
例10?ABC，sinA(cosB?cosC)?sinB?sinC，判断三角形形状。 分析与解：sinB?sinC?sin(A?C)?sin(A?B)?sinAcosC?cosAsinC
?sinAcosB?cosAsinB，故cosA(sinB?sinC)?0,cosA?0，?ABC是直角三角
形。
注：本解法非常有启发性，常见的方法是和差化积。
【题目研究】
sinxcosx的值域。
1?sinx?cosx12．cosx?cosy?，求cosx?sin2y的最值。
33．?ABC中，证明：A?B?sinA?sinB。 1．求f(x)?4．求f(x)?sinx?1(0?x?2?)的值域。
3?2cosx?2sinx5．判断f(x)?sinx?sin2x的周期性。 6．求y?log20x和y?sinx交点的个数。 7．求y?x?1?x2得值域。
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第10讲 三角恒等式一(数学竞赛)
