2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
4x21．不等式?2x?9的解集为 ． 2(1?1?2x)1解析: 由1?1?2x?0得x??,x?0，原不等式可变为1?1?2x2?1??45?故原不等式的解集为??,0?U?0,?
?2??8???2?2x?9解得x?45 82．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形
答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得
3．直线kx?y?2与曲线1?(y?1)2?|x|?1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是
__ _______. 43324．复数z，使z?z?2z，则z的所有可能值为 _____ ____．
答案：0，1，?1?2i,?1?2i 解：z?z?2z22提示：[?2,?)?(,2], 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.
43322=2z?z，∴z(z?1?2z)?0
2当 z?0时，满足条件，当 z?0时，z?1?2z?0
设 z?a?bi(a,b?R),则a?b?2abi?1?2(a?bi)
?a2?b2?1?2a?0(1)∴ ? ，由(2) 2b(a?1)?0
?2ab?2b?0(2)21）b?0 代入(1) 整理得：(a?1)?0?a?1
22）b?0，则 a??1 代入(1) 得：b?4?b??2，经检验复数z?1,?1?2i均满足条件. ∴ z的所有可能值为0，1，?1?2i,?1?2i.
aba?1b?15．所有的满足条件a?b?a?b?a?b的正整数对(a,b)的个数为 ．
aa?1b?1b?1b?1b解：显然a?b?1．由条件得a?a?b?a?b?a?b?1，从而有ab?b?b
ba?1b?1aba即b?ab?b，再结合条件及以上结果，可得a?b?a?b?a?b?a?ab?b，整
aa?1b?1a?12a?1a?1b?1理得a?ab?a?a?b?a??a?b??a，从而a?a?a?a?1??a?ab?a
即a?1，所以2?a?3．当a?2时，b?1，不符合；当a?3时，b?2（b?1不符合）．
综上，满足本题的正整数对?a,b?只有?3，2?，故只有1解．
36．设a,b,c为方程x?k1x?k2?0的根（k1?k2?1），则
a?31?a1?b1?c??? __. 1?a1?b1?c答案：
3?k1?3k23，由题意，x?k1x?k2?(x?a)(x?b)(x?c) 由此可得
1?k1?k2 a?b?c?0，ab?bc?ca??k1，abc?k2以及1?k1?k2?(1?a)(1?b)(1?c)
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1?a1?b1?c3?(a?b?c)?(ab?bc?ca)?3abc3?k1?3k2????
1?k1?k21?a1?b1?c(1?a)(1?b)(1?c)7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b. 则使不等式a?2b?10?0成立的事件发生的概率等于 ．
提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a?2b+10>0得2b 8181时,存在动点M, 使得|MA|,|AB|,|MB|成等差数列, 则2解: |?|?2?cosA?BA?B,3sin),|?|?2.如果当C最大22|MC||AB|最大值是__ ___. A?BA?B13?3sin2?2?cos(A?B)?cos(A?B)?2 22221?cos(A?B)?3cos(A?B)?2sinAsinB?cosAcosB?tanAtanB?, 2tanA?tanBtanC??tan(A?B)???2(tanA?tanB)??4tanAtanB??22, tanAtanB?12.令|AB|=2c,因|MA|?|MB|?4c, 2x2y22c), 设M(x,y), 则 所以 M是椭圆2?2?1上的动点.故点C(0,24c3c2224c19c2222c)2＝4c?y?y?2cy???y?2cy?,|y|?3c. |MC|2＝x2+(y?23232等号成立仅当tanA?tanB?7?26223?2|MC|6?1c, |MC|max＝＝. c. 即max 242|AB|二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） n?1n19．对正整数n?2，记an???k?1，求数列{an}中的最大值． k?1n?k2当y＝?3c时, |MC|2max= 解：经计算知a2?2，a3?3，a4?a5?1010，下面用数学归纳法证明：当n?5时，有an? 33n?1n?11n?11n?1110假设an??n?5?，则an?1?????2?L??n?1 nn?12n?22132n?1n?1?nn1n1?n?1n?1????L?? ??an ???n2n?n?1n?2212n?2?n2nn?1n?110n?186810???????? n2n3n35332012模拟卷（1） 第 2 页 共 6页 10 3210．给定正实数k，圆心为(a，b)的圆至少与抛物线y?kx有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另 两个点在直线y?kx?b上，求a，b的值（用k表示）． 所以数列{an}中的最大值是a4?a5?解：设⊙O:(x?a)?(y?b)?a?b, 即x?2ax?y?2by?0 抛物线与直线y?kx?b的两个交点坐标为(x1,y1,),(x2,y2)， 222222?x1?x2?12?kx1?kx1?b?则?2，即?b ①, 这两点亦在圆上，即 x1x2???kx2?kx2?b?k?222o?x1?2ax1?y1?2by1?x1?2ax1?(kx1?b)2?2b(kx1?b),? (1?k2)x1?2ax1?b2?0 22a?x?x?,122??1?k222同理 (1?k)x2?2ax2?b?0, 即 ? ② 2?b?xx?.122?1?k?11?k212?k? 比较①，②知：a?(1?k),b?2kkf(x)?a(|sinx|?|cosx|)?3sin2x?7,其中a为实数，求所有的数对(a, n) (n∈N*),使得函数y?f(x)在区间(0,n?)内恰好有2011个零点． k??解：首先，函数f(x)以为?周期，且以x??(k?Z)为对称轴，即 11．已知函数 24f(x??)?f(x),f(k??f(?2?x)?f(x)(k?Z)，其次， k??3?)?a?7,f(k??)?2a?10,f(k??)?2a?4， 244k??∵f(x)关于x??(k?Z)对称， 24k?k??k??k??∴f(x)在(,?)及(?,?)上的零点个数为偶数， 2242422（0，n?)恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点 要使f(x)在区间 k?k????)?0,f(?)?0，考虑区间(0,)及(,?)上的零点个数． （1）若a?7，则f(22422)时，f(x)?7(sinx?cosx)?3sin2x?7， 22令t?sinx?cosx(t?(1,2].则y?g(t)??3t?7t?4?0， 4??解得t1?1（舍），t2??2sin(x?)，故在(0,)内有两解． 342当x?(0,当x?(??22令t?sinx?cosx(t?(1,2]，则y?g(t)?3t?7t?10?0， ,?)时，f(x)?7(sinx?cosx)?3sin2x?7， 2012模拟卷（1） 第 3 页 共 6页
(完整word版)2.2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)(一试+二试,附详细解答)
