成人高考专升本高等数学复习资料
2011年度成人高考专升本高数复习资料笔
记目录
第一章极限和连续 第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念（对极限定义
等形式的描述不作
右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 则运算法则。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求1.了解随机现象、随机试验的基本特点；x1,x2,x3,...xn,…。 函数的单调增、减区间的方法。会利用理解基本事件、样本空间、随机事件的2.数列的极限 函数的单调性证明简单的不等式。
概念。
定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xnn趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的2.掌握事件之间的关系：包含关系、相无限地趋于一个确定的常数A，则称当驻点、极值点、极值、最大值及最小值等关系、互不相容关系及对立关系。 的方法，会解简单的应用题。 点。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐差运算的意义，掌握其运算规律。
4.理解概率的古典型意义，掌握事件概比如：
无限的趋向0
否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，
5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘，无限的趋向1
第三章一元函数积分学 第一节不定积分
法公式及事件的独立性。
6.了解随机变量的概念及其分布函数。 xn不是无限地趋于一个确定的常数，称7.理解离散性随机变量的意义及其概率数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，
就称数列是发散的。 1，0，1，0，…
数列极限的几何意义：将常数A及数列的项
依次用数轴上的点表
示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn及点A之间的距离|xn-A|趋
等形式的描述不作
8.会求离散性随机变量的数学期望、方比如：1，3，5，…，（2n-1），… 差和标准差。
第一章极限和连续 第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念（对极限定义
5.会求曲线的水平渐近线及铅直渐近线 率的基本性质及事件概率的计算。
3.理解事件之间并（和）、交（积）、极限，或称数列收敛于A，记作
要求）。会求函数在一点处的左极限及
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四[复习考试要求]
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌系，掌握不定积分的性质。 握无穷小量的性质、无穷小量及无穷大2.熟练掌握不定积分的基本公式。 量的关系。会进行无穷小量阶的比较等价无穷小量代换求极限。 法。
第二节函数的连续性
[复习考试要求]
1.理解函数在一点处连续及间断的概
3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握式代换）。
5.掌握简单有理函数不定积分的计算。
第二节定积分及其应用
[复习考试要求]
（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用第二换元法（仅限三角代换及简单的根4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
1.理解原函数及不定积分的概念及其关分布掌握概率分布的计算方法。
要求）。会求函数在一点处的左极限及于0。 右极限，了解函数在一点处极限存在的比如：
无限的趋向0
（二）数列极限的性质及运算法则
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四无限的趋向1 则运算法则。
1.理解定积分的概念及其几何意义，了充分必要条件。
念，理解函数在一点处连续及极限存在解函数可积的条件 之间的关系，掌握判断函数（含分段函2.掌握定积分的基本性质 数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 它们证明一些简单命题。 性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学 第一节导数及微分
[复习考试要求]
可导性及连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
握对变上限积分求导数的方法。
3.理解变上限积分是变上限的函数，掌3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌1.数列极限的性质
握无穷小量的性质、无穷小量及无穷大定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则量的关系。会进行无穷小量阶的比较等价无穷小量代换求极限。 法。
（一）数列的极限 1.数列
定义按一定顺序排列的无穷多个数
第四章多元函数微分学
[复习考试要求]
其极限值必定惟一。 它必定有界。
说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则
定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：
， ， 则
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续法。
握其计算方法。
图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
5.掌握定积分的换元积分法及分部积分（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方注意：这个定理反过来不成立，也就是7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面[主要知识内容]
1.理解导数的概念及其几何意义，了解
（1）
称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，（2）
2.会求曲线上一点处的切线方程及法线1.了解多元函数的概念，会求二元函数数列中每一个数称为数列的项，第n项定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必方程。 的定义域。了解二元函数的几何意义。 xn为数列的一般项或通项，例如 有极限。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算2.了解二元函数的极限及连续的概念。 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差3.数列极限的四则运算定理。 法则以及复合函数的求导方法。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的数列） 定理1.5 4.掌握隐函数的求导法及对数求导法。概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求（2）（等比数列） 会求分段函数的导数。 的高阶导数。
法。掌握二元函数的二阶偏导数的求
（3）（递增数列）
5.了解高阶导数的概念。会求简单函数法，掌握二元函数的全微分的求法。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了的求法。 微分。
第二节导数的应用
[复习考试要求]
1.熟练掌握用洛必达法则求
“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
值。
值解简单的实际问题。
第五章概率论初步
[复习考试要求]
（1）（3）当
时，
（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） （2）（2n-1）,。
对应，所以说数列{xn}可看作自变量n整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。
在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点
（三）函数极限的概念 1.当x→x0时函数f（x）的极限 （1）当x→x0时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→x0时）
4.掌握复合函数及隐函数的一阶偏导数都是数列。它们的一般项分别为
解可微和可导的关系，会求函数的一阶5.会求二元函数的无条件极值和条件极对于每一个正整数n，都有一个xn及之
6.会用二元函数的无条件极值及条件极的函数xn=f（n），它的定义域是全体正
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例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1
2.当x→∞时，函数f（x）的极限
当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）（1）有相同的极限A。
例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地（2）趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无
时，时，
限地趋于同一个常数1，因此称当x→（3）当
（1）当x→∞时，函数f（x）的极限 ∞时的极限是1，记作
y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1
定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→∞时）
（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作
这个定义及数列极限的定义基本上一
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
其几何意义如图3所示。
（2）左极限
当x→x0时f（x）的左极限
定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作
或f（x0-0）=A
（3）右极限
当x→x0时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作
或f（x0+0）=A
例子：分段函数 ，求
，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1）
（2）（3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参及运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于情形也都成立。
（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小）
的
定义对于函数，如果自变量x在即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，解：当x从0的左边无限地趋于0时f某个变化过程中，函数的极限为零，正整数；而在这个定义中，则要明确写当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但（x）无限地趋于一个常数1。我们称当则称在该变化过程中，为无穷小量，出x→+∞，且其中的x不一定是正整
这两个极限不相同，我们只能说，当x一般记作x→0时，f（x）的左极限是1，即有 数，而为任意实数。
→∞时，y=arctanx的极限不存在。 常用希腊字母，…来表示无穷小 y=f(x)x→+∞f(x)x→？
样，数列极限的定义中n→+∞的n是
当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有
x→+∞，f(x)=2+
→2
x)=1+
量。
定理1.10函数充分条件是：
可表示为A及一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量及很小的数严格区
以A为极限的必要
例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，y=arctanx
f（x）→？
解：f（x）=2+e-x=2+x→+∞，f（x）=2+
所以
右极限之间有以
，
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
→2
显然，函数的左极限
及函数的极限
下关系：
定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
反之，如果左、右极限都等于A，则必有
x→1时f(x)→? x≠1x→1f(x)→2
。
分开，一个很小的数，无论它多么小也
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，不是无穷小量。
定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但
（3）一个变量是否为无穷小量是及自
时，f（x）无限地趋于一个常数A，则这两个极限不相同，我们只能说，当x
变量的变化趋势紧密相关的。在不同的
称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记→∞时，y=arctanx的极限不存在。
变化过程中，同一个变量可以有不同的（四）函数极限的定理 作
定理1.7（惟一性定理）如果存变化趋势，因此结论也不尽相同。
例如： 在，则极限值必定惟一。 x→-∞f(x)→？
定理1.8（两面夹定理）设函数
则f(x)=2+(x＜0) 振荡型发散 在点的某个邻域内（可x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+
例：函数，当x→-∞时，f（x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞
则有也成立。
下面我们给出函数极限的四则运算定
。
除外）满足条件： （1）
注意：上述定理1.7及定理1.8对
，（2）
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为
。
2.无穷大量（简称无穷大） 定义；如果当自变量则
（或∞）时，
的绝对值可以变得充分大（也即无
就越
→2
对于函数，当x→1时，f（x）的左极→2，即有 限是2，右极限也是2。
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函理 数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是
定理1.9如果
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限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作是一个记号，绝不能写成
。
3.无穷小量及无穷大量的关系 无穷小量及无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。 定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果
为无穷小量，且
，则为无
穷大量。 当
无穷大 无穷小
当
为无穷小 无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）及无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量及无穷小量的乘积是无穷小量。
令
。 或
这个性质常常使用在极限运算中，它能基本极限公式 起到简化运算的作用。但是必须注意：
（3） （4）
例1.无穷小量的有关概念
（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是
（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式
D.
（2）[0202]当是
A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量 C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B
解:当
这个公式很重要，应用它可以计算三角
,
极限的运算： [0611]解：
[答案]-1
例2.型因式分解约分求极限 （1）[0208]
[答]
解二： （2）[0621]计算[答]
解:
[0306] [0601]
（2）[0118]计算 [答]解:[0407]
解:
，
（2）[9516] [答]解:
[答]0
例6.用重要极限Ⅱ求极限
及x是 时，
及x比较
例5.用重要极限Ⅰ求极限
（1）[9603]下列极限中，成立的是 A.B. C.D. [答]B （2）[0006][答] 解:
A.B. C.A.发散
D. [答]C
例4.当
时求型的极限 [答]
运算中使用。
常用的等价无穷小量代换有： 当x;
时，
sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～
（2）
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”等价无穷小量代换可以在极限的乘除
（1）[0308]一般地，有
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小函数的型的极限问题。
其结构式为： 量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设量，即量，记作量；
（3）如果则称及为等价无穷小量，记为量。当
等价无穷小量代换定理： 如果当时无穷小量，又有
均为无穷小
又有
，
均为且存在，则。
；
（4）如果则称是比较低价的无穷小
；
是同一变化过程中的无穷小
。
（1）[0416]计算 [答] [解析]解一：令
（1）如果则称是比较高阶的无穷小（2）如果则称及为同阶的无穷小
2.重要极限Ⅱ
然对数的底，它的值为
重要极限Ⅱ是指下面的公式：
其中e是个常数（银行家常数），叫自解: e=2.718281828495045…… 其结构式为：
重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重例3.型有理化约分求极限
要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，
（1）[0316]计算 [答] 这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。
（七）求极限的方法：
1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；
解:
例7.用函数的连续性求极限
例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317] [答]0 解:当
5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。
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