2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 2018.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集U?R，集合A?xx2?2x?3?0，则CUA? .
??1??2．在?x??的二项展开式中，常数项是 .
x??3．函数f(x)?lg(3?2)的定义域为_____________． 4．已知抛物线x?ay的准线方程是y??5．若一个球的体积为
26xx32?，则该球的表面积为_________． 31，则a? . 4?x?0，?6．已知实数x，y满足?y?0， 则目标函数z?x?y的最小值为___________．
?x?y?1．??sinx?cosx?7．函数f(x)?12?11的最小正周期是___________．
8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12?，则该圆锥的侧面积等于 . 9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量a??m?2,2?n?，向量b??1,1?，则向量a?b的概率是 . ．．
10．已知直线l1:mx?y?0,l2:x?my?m?2?0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是 .
2(x?1)2?sinx11．若函数f(x)?的最大值和最小值分别为M、m，则函数
x2?1g(x)??M?m?x?sin???M?m?x?1??图像的一个对称中心是 ．
12．已知向量a,b的夹角为锐角，且满足|a|?84、|b|?，若对任意的1515(x,y)?(x,y)|xa?yb|?1,xy?0，都有|x?y|?1成立，则a?b的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题
??纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．在四边形ABCD中，AB?DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是--------（ ）
（A）菱形
（B）矩形 （C）直角梯形
（D）等腰梯形
14. 若无穷等比数列?an?的前n项和为Sn，首项为1，公比为 (n?N*)，则复数z?1，且limSn?a，
n??21（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ） a?i
（A）第一象限． （B）第二象限． （C）第三象限． （D）第四象限． 15．在?ABC中，“cosA?sinA?cosB?sinB”是“?C?900”的------------（ ）
（A） 充分非必要条件 （C） 充要条件
（B）必要非充分条件 （D）既不充分也不必要条件
16．如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A,B，过劣弧AB上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点
M,N，若点Q(2,1)是切线上一点，则?MON周长的最小值为
------------------------------------------------------------------( ) （A）10 （B）8 （C）45 （D）12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
AB?2，AD?4，
D1C1AC1?21，点M为AB的中点，点N为BC的中点．
（1）求长方体ABCD?A1B1C1D1的体积；
（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表
示）．
A1B1DNCAMB18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB?BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD?10（公里），?DCB?45,?CDB?30，?ABD是等腰三角形，?ABD?1200． （1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD?DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数f(x)?x?3tx?1，其定义域为[0,3][12,15]， (1) 当t?2时，求函数y?f(x)的反函数；
(2) 如果函数y?f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
200C B D
A x2A,B是椭圆C:?y2?1长轴的两个端点，M,N是如图，
2椭圆上与A,B均不重合的相异两点，设直线AM,BN,AN的斜率分别是k1,k2,k3. (1)求k2?k3的值； (2)若直线MN过点??2?1，求证：； ,0k?k???13?2?6??(3)设直线MN与x轴的交点为(t,0)(t为常数且t?0)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列?an?的前n项和An满足
An?1An1??(n?N*)，且a1?1，数列?bn?满足n?1n2bn?2?2bn?1?bn?0(n?N*)，b3?2，其前9项和为36．
(1)求数列?an?和?bn?的通项公式；
(2)当n为奇数时，将an放在bn的前面一项的位置上；当n为偶数时，将bn放在an前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,???，求该数列的前n项和Sn； (3)设cn?1，对于任意给定的正整数k?k?2?，是否存在正整数l,m(k?l?m)，使得
an?bnck,cl,cm成等差数列？若存在，求出l,m(用k表示)；若不存在，请说明理由．
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科参考答案及评分标准 2018.4
一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．[?1,3] 2．20 3．(0,??) 4．1 5．16? 6．?1 7．? 8．??? 9．
8?1?122 10． x?y?2x?y?0 11．?，1? 12． 615?4?二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13．A 14．D 15．B 16．A
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】（1） 连AC、AC1．??ABC是直角三角形，?AC?2?4?25．
22?ABCD?A1B1C1D1是长方体，?C1C?BC，C1C?CD，又DC?BC?C， ?C1C?平面ABCD，?C1C?AC．
又在Rt?ACC1中，AC1?21，AC?25，?CC1?1，
z
D1 C1 ?VABCD?A1B1C1D1?8．--------6分
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系
则A,0?、B1?4,2,1?、N?2,2,0?，所以1?4,0,1?、M?4,1A1 D M B1 x A B N C y
A1M??0,1,?1?、B1N???2,0,?1?，10分
则向量AM与B1N 1所成角?满足cos??A1M?B1NA1M?B1N?10． 1010．14分 10?异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos
上海市徐汇区2018年高三数学二模试卷
