《导数及其应用》全章复习与巩固
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：
'?x0?表示，定义为： 函数y=f(x)在x0点的导数，通常用符号f‘
要点诠释： （1）
f??x0?＝limf?x0??x??f?x0??y?lim ?x?0?x?x?0?x?yf?x1??f?x0?f?x0??x??f?x0?，它表示当自变量x从x0变x1，函数值从f?x0?变到f?x1?时，?=?xx1?x0?x函数值关于x的平均变化率.当?x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数
y=f(x)在x0点的导数.
（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S从时间t1到t2的平均变化率即为t1到t2这段时间的平均速度． 导数的几何意义：
f‘'?x0?表示曲线y=f(x)在x?x0处的切线的斜率，即
f‘'?x0?=tan?（?为切线的倾斜角）
要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
导数的物理意义：
在物理学中，如果物体运动的规律是s=s?t?，那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s?t?在t=t0时的导数，即v=s'?t0?；
如果物体运动的速度随时间变化的规律是v?v?t?，那么物体在时刻t0的瞬时加速度a就是v?v?t?在t=t0时的导数，即a?v'?t0?．
要点诠释：f'(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度??t?对时间t的变化率；瞬时电流是电量Q?t?对时间t的变化率；瞬时功率是功W?t?对时间t的变化率；瞬时电动势是磁通量Φ?t?对时间t的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数
基本初等函数 常数函数y?c?c为常数? 幂函数y?xn导数 特别地 y'?0 ?'?0，e'=0 1?1?，'? ??2x?x?x?n为有理数? xy?n?xn?1 ?x?'?21x x指数函数y?a 对数函数y?logax 正弦函数y?sinx 余弦函数y?cosx y'?ax?lna ?e?'?e?lnx?'??tanx?'=???cotx?'=?? y'?1 x?lna1 xy'?cosx sinx?1 ?'=2cosxcosx??y'??sinx cosx?1?'= 2 ?sinx?sinx要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数
要点诠释：
（1）一个推广：(u1?u2?L?un)'?u'1?u'2?L?u'n． （2）两个特例：(cu)'?cu'（c为常数）；?复合函数的导数
设函数u??(x)在点x处可导，u'x??'(x)，函数y?f(u)在点x的对应点u处也可导y'u?f'(u)，则复合函数y?f[?(x)]在点x处可导，并且y'x?y'u?u'x，或写作f'x[?(x)]?f'(u)??'(x)． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性
设函数y?f(x)在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为常数函数. 要点诠释：
（1）在区间(a,b)内，f'(x)?0（或f?(x)?0）是f(x)在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件.
（2）只有当在某区间上有有限个点使f'(x)?0时，f?(x)?0（或f?(x)?0）?f(x)在该区间内是单调递增（或减）.
利用导数研究可导函数的极值
求函数y?f(x)在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f?(x)；
?1?1'?g(x)?1?g'(x)g'(x)'???(g(x)?0)． ?22g(x)g(x)?g(x)?
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