（文理通用）2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题8 选考系列 第2讲 不等式选讲练习

2019年

第一部分 专题八 第二讲 不等式选讲

A组

1．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R. (1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；

(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0，求a的取值范围．

?3?5－3x，≤x≤2，

2[解析] (1)f(x)＝?3

x－1，x<.??2

1－x，x>2，

当x>2时，1－x>0，即x<1，此时无解； 3535

当≤x≤2时，5－3x>0，即x<，解得≤x<； 232333当x<时，x－1>0，即x>1，解得1

∴不等式解集为{x|1

3

(2)2－x－|2x－a|<0?2－x<|2x－a|?x∵x∈(－∞，2)，∴a－2≥2，∴a≥4.

2．(2018·南宁二模)设实数x，y满足x＋＝1.

4(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围． (2)若x>0，y>0，求证：xy≥xy. [解析] (1)根据题意，x＋＝1，

4则4x＋y＝4，即y＝4－4x，

则由|7－y|<2x＋3，可得|4x＋3|<2x＋3， 即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3， 解得－10，y>0， 1＝x＋≥24即xy≤1，

a＋2

3

恒成立．

yyyyx·＝xy，

4

xy－xy＝xy(1－xy)，

2019年 又由0

3．(2018·西安二模)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)． (1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域．

(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值． [解析] (1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|>7； ①当x>2时，得x＋1＋x－2>7，解得x>4； ②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x>7，无解； ③当x<－1时，得－x－1－x＋2>7，解得x<－3； 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8；

因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3； 又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8解集是R； 所以a＋8≤3，即a≤－5. 所以a的最大值为－5.

4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.

(1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)若关于x的不等式f(x)≥ax＋1恒成立，试求实数a的取值范围． [解析] (1)由于f(x)＝|x＋1|＋|2x－4| －3x＋3，x≤－1，??

＝?－x＋5，－12，

则函数y＝f(x)的图象如图所示．

2019年

(2)当x＝2时，f(2)＝3.

当直线y＝ax＋1过点(2,3)时，a＝1. 由函数y＝f(x)与函数y＝ax＋1的图象知，

当且仅当－3≤a≤1时，函数y＝f(x)的图象没有在函数y＝ax＋1的图象的下方， 因此f(x)≥ax＋1恒成立时，a的取值范围为[－3，1]．

B组

1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. (1)解不等式f(x)>0；

(2)已知关于x的不等式a＋3

?1?3x－2， －≤x<3，

2＝?

1

－x－4， x<－.??2

∴不等式f(x)>0化为

??x＋4>0，???x≥3，

x＋4， x≥3，

3x－2>0，??

或?1

－≤x<3，??2－x－4>0，??

或?1

x<－.?2?

2

∴x<－4或x>，

3

2

即不等式的解集为(－∞，－4)∪(，＋∞)．

3

7713

(2)∵f(x)min＝－，∴要使a＋3

2222．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，a∈R. (1)当a＝0时，解关于x的不等式f(x)>4；

(2)若?x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|<4成立，求实数a的取值范围． [分析] (1)按x＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解． (2)?x∈R，使不等式f(x)<4成立，即f(x)的最小值小于4. [解析] (1)由a＝0知原不等式为|x－3|＋|x|>4 7

当x≥3时，2x－3>4，解得x>.

2当0≤x<3时，3>4，无解． 1

当x<0时，－2x＋3>4，解得x<－. 2

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17

故解集为{x|x<－或x>}．

22

(2)由?x∈R，|x－3|＋|x－a|<4成立可得，(|x－3|＋|x－a|)min<4. 又|x－3|＋|x－a|≥|x－3－(x－a)|＝|a－3|， 即(|x－3|＋|x－a|)min＝|a－3|<4. 解得－1

3．(2018·临川二模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|. (1)若f(1)<3，求实数a的取值范围． (2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.

[解析] (1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3. ①当a≤0时，得－a＋(1－2a)<3， 22

解得a>－，所以－

331

②当0

21

解得a>－2，所以0

21

③当a≥时，得a－(1－2a)<3，

2414

解得a<，所以≤a<；

323

24

综上所述，实数a的取值范围是(－，)．

33(2)因为a≥1，x∈R，

所以f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|＝3a－1≥2.

4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记不等式f(x)>－1的解集为M. (1)求M；

12

(2)已知a∈M，比较a－a＋1与的大小．

a?1?3x－1，0

2[解析] (1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝?

1

－x＋1，x≥，??2

由f(x)>－1，得

??x≤0，

?

?x－1>－1?

x－1，x≤0，

1??0－1

1??x≥，或?2??－x＋1>－1，

2019年

解得0

1a－a＋a－1

因为a－a＋1－＝＝

2

3

2

a－1

aa2＋1

aa，

当0

a－1

aaa2＋1

<0，

12

所以a－a＋1<. 当a＝1时，

a－1

aaa2＋1

＝0，

12

所以a－a＋1＝. 当1

a－1

aaa2＋1

>0，

12

所以a－a＋1>.

12

综上所述：当0

当a＝1时，a－a＋1＝.

aa12

当1.