第一讲因式分解的常用方法和技巧
趣题引路】
你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l, 指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式
=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1)
)‘一1
x-l x2 + X + 1
= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)
一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数 学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技 巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础， 而且有利于思维能力的发展.
知识拓展】
因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成 一个多项式， 因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指 定数域中不能再分.
“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超 过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是
因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.
本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.
11
一、用换元法分解因式
换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进 行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.
例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X + 3)(X+5) + 12.
解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和 (X-1)(X+5) = X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x+4x分解(也可设 y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).
2解原式=[(x + l)(x + 3)][(A- 1)(X + 5)] +12
=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12
设 y = x +4xf 贝!I原式= (y+3)(y-5)+12
2= r-2y-3 = (y-3)(y + l) =(x2 +4x+ 3)(x2 +4x-l)
点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段 这里y取(x2 +4X + 3)和(x + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便
2例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).
解析 题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b. 解设 xy=a, x+y=b,则， 原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)
=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a =a2 +b2 +l+2a-2ab-2b =(a-b+[)2
注：这里用到公式a，+b +c + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c).
222点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互 为倒数)的部分时都可以考虑换元.
二、 用待定系数法分解因式
11
待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.
在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用 一些字母来表示待定的系数?根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系 数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.
例3 (第9届五羊杯初二题)设x + 3x-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ . 解析 首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解 所得因式可设为x+a和x+bx + cy,其中e b, c为待定系数.
解 设 x3 + 3x - 2xy + kx-4y 可分解为(x+a)(x +bx+cy),贝ij
22232x3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy 比较系数，得 a+b=3 ,
a + b = 3
消去 c,得\\ab = -k ,消去 a,b,解得 k=-2.
a = 2 i
ab = -k ac = -4
点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.
三、 用公式法分解因式
初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式： 立方和公式：a +b = (a + b)(a -ab + b) 立方差公式：a -b =(a-b)(a +ab+b)
和的立方公式：(a + b) =a + 3ab + 3ab + b 差的立方公式：(a - b) =a - 3crb + 3ab -b
三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a +b +c + 2ab 4- lac + 2bc
两数 n 次方差公式：a” -b =(a-b)(a~ + a~b + ? ? ? + ab\ + b~) 三数立方和公式：a +b +c‘ = (a + b +c) -3(a + b)(b + c)(a + c)
333nnln22nl22233233322333223322在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式. 例 4 分解因式x+x+x+-+x+x+l.
解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式
l5l4l32a\n =(a- + a\2b + ab\2 + bn~l),令 b=l,得
11
a\+ an~2 + …+ a + l).为化繁为简，
及能用公式，给原式乘以
x-1
解 原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --
x-l x-l =(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1) =(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)
点评 这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常 用到.
例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)-4(b-c)(a-b). 解析把拾号展开后重新组合.
解 原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘
2=c2 + lac + a2 - Aab一 4bc + 4b2 =(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2 = (a + c- 2b)2
点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.
例 6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B 解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式
2
a3 + + c5 = (a + b + c)(? + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而
(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.
故原式可分解为 3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■
四、用拆项添项法分解因式
在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要 的技巧 例7分解因式：x3-9x+8.
解析 多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添 项，式中无二次项，可添加-F + F.
解法1将常数项拆成一1+9,
11
原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8) 解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x , 原式=X3-X-3X + 3 = (X3-X) - 8(x-l)
=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)
解法3 将三次项/拆成9疋-8疋， 原式=9X3-8X3-9X + 8
= (9X3-9X) + (-8X3 + 8)
=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)
= (X-1)(X2 + X-8)
解法4添加-x2+x2, 原式=x3 -x2 +x2 -9x+8
= X2(X-1) + (X-8)(X-1) = (x-l)(x2 +x-8)
点评 最强的一种
一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性
例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.
解析 设法使疋+疋+1变成含x+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成
22x4-%4.
解 原式=^8 + 2X4 + 1-X4 = (X4 + 1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1) 因为疋+\1 = 0,所以原式的值为0.
五、利用因式定理分解因式
因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀) 一定有因式x-d?运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.
例 9 分解因式X4 + 2?-9X:-2X+8.
解析 设f(x) = x + 2x-9x-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用 综合除法可求另外因式. 解 依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：
43212- 1
1 3
9-28 -6
-8
13- 6-80 —]
—1 — 2 8
12-80
11
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
