2014年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 若正数a,b满足2?log2a?3?log3b?log6?a?b?，则2. 设集合?11?的值为________. ab?3??b1?a?b?2?中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M?m的值为__________. ?a?3. 若函数f?x??x2?ax?1在?0,???上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 4. 数列?an?满足a1?2，an?1?a20142?n?2?? . ann?N?，则
a1?a2???a2013n?1??5. 正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，则异面直线MNM,N分别是边AB,BC的中点，与PC之间的距离是__________.
6. 设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q.若PF2?F1F2，且3PF1?4QF1,则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________.
7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I.若点P满足PI?1，则?APB与?APC的面积之比的最大值为__________.
8. 设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
1的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边2是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.
二、解答题
9. 平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件： 过P可作抛物线y?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直. 设直线lP与直线PO，x轴的交点分别为Q,R. （1）证明R是一个定点； （2）求10. 数列?an?满足a1?2PQQR的最小值.
?6，an?1?arctan?secan?n?N???.求正整数m，使得
1. 100sina1?sina2???sinam?11. 确定所有的复数?，使得对任意复数z1,z2z1,z2?1,z1?z2，均有
???z1???2??z1??z2???2??z2.
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2014年全国高中数学联赛A卷
二试
一、设实数a,b,c满足a?b?c?1，abc?0.求证：ab?bc?ca?
二、如图，在锐角?ABC中，?BAC?60?，过点B、C分别作?ABC的外接圆⊙O的切线BD、EC，且满足BD?CE?BC.直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G.设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N. 求证：AM?AN.
abc1?. 241,2,3,?,100?.求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子三、设S??集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.
四、设整数x1,x2,?,x2014模2014互不同余，整数y1,y2,?,y2014模2014也互不同余. 证明：可将y1,y2,?,y2014重新排列为z1,z2,?,z2014，使得
x1?z1,x2?z2,?,x2014?z2014
模4028互不同余.
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2014年全国高中数学联赛A卷真题word版
