西京学院实验教学教案
实验课程：现代控制理论基础 课序： 4 教室：工程舫0B-14 实验日期：2013-6-3、4、6 教师：万少松 一、实验名称：系统的稳定性及极点配置 二、实验目的
1．巩固控制系统稳定性等基础知识；
2．掌握利用系统特征根判断系统稳定性的方法；
3．掌握利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性的方法； 4. 掌握利用状态反馈完成系统的极点配置；
5．通过Matlab编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。
三、实验所需设备及应用软件 序号 1 2 计算机 Matlab软件 型 号 备 注 四、实验内容
1. 利用特征根判断稳定性；
2. 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性； 3. 状态反馈的极点配置；
五、实验方法及步骤
1.打开计算机，运行MATLAB软件。
2.将实验内容写入程序编辑窗口并运行。
3.分析结果，写出实验报告。
一、 利用特征根判断稳定性
用matlab求取一个系统的特征根，可以有许多方法，如eig()，pzmap()，ss2zp，
tf2zp，roots等。下面举例说明。
【例题1】已知一个系统传递函数为G(s)，试不同的方法分析闭环系统的稳定性。
G(s)?(s?3)
(s?5)(s?6)(s2?2s?2)解：
num=[1,3]
den=conv([1,2,2],conv([1,6],[1,5])) sys=tf(num,den) (1)eig()
p=eig(sys) 显示如下： p =
-6.0000 -5.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i
所有的根都具有负的实部，所以系统稳定。 (2) pzmap()
pzmap(sys)
从绘出的零极点图可看见，系统的零极点都位于左半平面，系统稳定。 （3）tf2zp() [z,p,k]=tf2zp(num,den) （4）roots()
roots(den)
【例题2】已知线性定常连续系统的状态方程为
x1?x2x2?2x1?x2
试用特征值判据判断系统的稳定性。 解：
A=[0,1;2,-1] eig(A)
显示ans = 1
-2
有一个正根，所以系统不稳定。
二、 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性
1、李雅普诺夫判据：线性定常连续系统 x?Ax
在平衡状态xe?0处，渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李雅普诺夫矩阵方程
ATP?PA??Q
存在唯一正定对称矩阵解P。
2、推论：如果Q矩阵取为半正定，且(A,Q1/2)为完全能观测，则xe?0为渐进稳定的充分
必要条件是上述李雅普诺夫矩阵方程有唯一正定对称解P。
3、标量函数v(x)?xPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。 4、Matlab实现
matlab提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap()，其调用格式为
TP?lyap(A,Q)。
要判定系统是否稳定,需要做以下工作: ① 求出P，并验证P是正定的；
② 求出V(x)，并判验证V(x) 是正定的； ③ 结论：系统是稳定的。
【例题3】已知单位负反馈系统的前向通道分别是三个环节串联而成，这三个环节分别是两个惯性环节和一个积分环节：
G1(s)?511、G2(s)?、G3(s)? s?1s?2s试分析系统的李雅普诺夫稳定性。
解：研究系统的稳定性时，可以令给定输入u(t)?0。 （1）、求出闭环系统的传递函数
G1=tf(5,[1,1]) G2=tf(1,[1,2]) G3=tf(1,[1,0])
Gtf=feedback(G1*G2*G3,1)
实验四控制系统的稳定性分析
