西京学院实验教学教案
实验课程:现代控制理论基础 课序: 4 教室:工程舫0B-14 实验日期:2013-6-3、4、6 教师:万少松 一、实验名称:系统的稳定性及极点配置 二、实验目的
1.巩固控制系统稳定性等基础知识;
2.掌握利用系统特征根判断系统稳定性的方法;
3.掌握利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性的方法; 4. 掌握利用状态反馈完成系统的极点配置;
5.通过Matlab编程,上机调试,掌握和验证所学控制系统的基本理论。
三、实验所需设备及应用软件 序号 1 2 计算机 Matlab软件 型 号 备 注 四、实验内容
1. 利用特征根判断稳定性;
2. 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性; 3. 状态反馈的极点配置;
五、实验方法及步骤
1.打开计算机,运行MATLAB软件。
2.将实验内容写入程序编辑窗口并运行。
3.分析结果,写出实验报告。
一、 利用特征根判断稳定性
用matlab求取一个系统的特征根,可以有许多方法,如eig(),pzmap(),ss2zp,
tf2zp,roots等。下面举例说明。
【例题1】已知一个系统传递函数为G(s),试不同的方法分析闭环系统的稳定性。
G(s)?(s?3)
(s?5)(s?6)(s2?2s?2)解:
num=[1,3]
den=conv([1,2,2],conv([1,6],[1,5])) sys=tf(num,den) (1)eig()
p=eig(sys) 显示如下: p =
-6.0000 -5.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i
所有的根都具有负的实部,所以系统稳定。 (2) pzmap()
pzmap(sys)
从绘出的零极点图可看见,系统的零极点都位于左半平面,系统稳定。 (3)tf2zp() [z,p,k]=tf2zp(num,den) (4)roots()
roots(den)
【例题2】已知线性定常连续系统的状态方程为
x1?x2x2?2x1?x2
试用特征值判据判断系统的稳定性。 解:
A=[0,1;2,-1] eig(A)
显示ans = 1
-2
有一个正根,所以系统不稳定。
二、 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性
1、李雅普诺夫判据:线性定常连续系统 x?Ax
在平衡状态xe?0处,渐进稳定的充要条件是:对任意给定的一个正定对称矩阵Q,如下形式的李雅普诺夫矩阵方程
ATP?PA??Q
存在唯一正定对称矩阵解P。
2、推论:如果Q矩阵取为半正定,且(A,Q1/2)为完全能观测,则xe?0为渐进稳定的充分
必要条件是上述李雅普诺夫矩阵方程有唯一正定对称解P。
3、标量函数v(x)?xPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。 4、Matlab实现
matlab提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap(),其调用格式为
TP?lyap(A,Q)。
要判定系统是否稳定,需要做以下工作: ① 求出P,并验证P是正定的;
② 求出V(x),并判验证V(x) 是正定的; ③ 结论:系统是稳定的。
【例题3】已知单位负反馈系统的前向通道分别是三个环节串联而成,这三个环节分别是两个惯性环节和一个积分环节:
G1(s)?511、G2(s)?、G3(s)? s?1s?2s试分析系统的李雅普诺夫稳定性。
解:研究系统的稳定性时,可以令给定输入u(t)?0。 (1)、求出闭环系统的传递函数
G1=tf(5,[1,1]) G2=tf(1,[1,2]) G3=tf(1,[1,0])
Gtf=feedback(G1*G2*G3,1)
实验四控制系统的稳定性分析
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