形式语言与自动机理论试题答案解析
一、按要求完成下列填空
1. 给出集合{Φ,{Φ}}和集合{ε,0,00}的幂集 （2x4'）
(1) {Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}
(2) {Φ,{ε},{0},{00},{ε,0},{ε,00},{0,00},{ε,0,00}}
2. 设∑={0,1},请给出∑上的下列语言的文法 （2x5'） (1)所有包含子串01011的串 S→X01011Y
X→ε|0X|1X Y→ε|0Y|1Y
(2)所有既没有一对连续的0，也没有一对连续的1的串 A→ε|A’|A”
A’ →0|01|01A’ A” →1|10|10A”
3. 构造识别下列语言的DFA 2x6'
(1) {x|x?{0，1}+且x以0开头以1结尾} （设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态）
00110,10S1
(2) {x|x?{0，1}
+
且x的第十个字符为1}
0,1 （设置一个陷阱状态，一旦发现x的第十个字符为0，进入陷阱状态）
S0,10,10,10,10,10,10,10,10,110,1
二、判断（正确的写T，错误的写F） 5x2'
1.设R1和R2是集合{a,b,c,d,e}上的二元关系，则
(R?R)R?RR?RR1231323 ( T )
任取(x.,y),其中x,y?{a,b,c,d,e}，使得(x,y)?(R1?R2)R3。
??z((x,z)?R1?R2?(z,y)?R3) z?{a,b,c,d,e} ??z((x,z)?R1?(x,z)?R2?(z,y)?R3)
??z((x,z)?R1?(z,y)?R3)??z((x,z)?R2?(z,y)?R3) ?(x,y)?R1R3?(x,y)?R2R3 ?(x,y)?R1R3?R2R3
2.对于任一非空集合A，Φ?2 ( T ) 3.文法G：S A|AS A a|b|c|d|e|f|g 是RG ( F ) 4.3型语言
2型语言
1型语言
0型语言 ( F )
A?? 5.s（rs+s）*r=rr*s（rr*s）* ( F )
不成立，假设r,s分别是表示语言R，S的正则表达式，例如当R={0}，S={1}, L(s(rs+s)*r)是以1开头的字符串，而L(rr*s(rr*s)*)是以0开头的字符串.L(s(rs+s)*r) ? L(rr*s(rr*s)*) 所以s(rs+s)*r? rr*s(rr*s)*,结论不成立
三、设文法G的产生式集如下，试给出句子aaabbbccc的至少两个不同的推导（12分）。 S?aBC|aSBCaB?ab
bB→bb CB→BC bC→bc cC→cc
?
推导一： S=>aSBC
=>aaSBCBC =>aaaBCBCBC =>aaabCBCBC =>aaabBCCBC =>aaabbCCBC =>aaabbCBCC =>aaabbBCCC =>aaabbbCCC =>aaabbbcCC =>aaabbbccC =>aaabbbccc
推导二：
S=>aSBC
=>aaSBCBC =>aaaBCBCBC
=>aaaBBCCBC =>aaaBBCBCC
=>aaabBCBCC
=>aaabbCBCC
=>aaabbBCCC =>aaabbbCCC =>aaabbbcCC
=>aaabbbccC =>aaabbbccc
四、判断语言{0n1n0n|n>=1}是否为RL，如果是，请构造出它的有穷描述(FA,RG或者RL）；如果不是，请证明你的结论（12分）
解：设L={0n1n0n|n>=1}。假设L是RL，则它满足泵引理。不妨设N是泵引理所指的仅依赖于 L的正整数，取Z=0N1N0N 显然，Z∈L 。
按照泵引理所述，必存在u，v，w。由于|uv|<=N,并且|v|>=1，所以v只可能是由0组成的非空串。不妨设v=0k，k>=1 此时有u=0N?k?j ，w=0j1N0N 从而有uviw=0N?k?j(0k)i0j1N0N 当i=2时，有uv2w=0N?k1N0N 又因为k>=1, 所以 N+k>N 这就是说0N?k1N0N不属于L， 这与泵引理矛盾。所以，L不是RL。
五、构造等价于下图所示DFA的正则表达式。(12分) q0 1 q1 S
0 1 0 1 1
q2 0 q0
3
答案(之一)：(
01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1)
(?+(1+00)((1+00*1)0)*00*)
预处理： ?
1 q1
? q0 X 0 Y
1 0 1 1 ? q2 0 0 q3 去掉q3： ? 1 1 ? q0 q X 0 Y
1 0 1+00*1 00* q2
? 去掉q1： ? q0 X 01
Y
1+00 (1+00*1)1 00* (1+00*1)0 q2 )*
?+(1+00)((1+00*1)0)*00*
去掉q2：
去掉q0：
X ? q0 Y
01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1)
(01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1))* (?+(1+00)((1+00*1)0)*00*)
X
六、设M=（{q0,q1,q2}，{0,1}，{0,1，B}，{δ}，q0,B,{q2}）,其中δ的定义如下：
δ（q0，0）=（q0，0，R） δ（q0，1）=（q1，1，R） δ（q1，0）=（q1，0，R） δ（q1，B）=（q2，B，R）
请根据此定义，给出M处理字符串00001000,10000的过程中ID的变化。（10分）
解：处理输入串00001000的过程中经历的ID变化序列如下：
q000001000
0q00001000 00q0001000 000q001000 0000q010000
00001q10000
000010q100
0000100q10
00001000q1
00001000Bq2
处理输入串10000的过程中经历的ID变化序列如下： q010000 1q100000 10q1000 100q100 1000q10 10000q1
10000Bq2
七、根据给定的NFA，构造与之等价的DFA。（14分） NFA M的状态转移函数如下表
Y
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