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绝密 ★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
2
0．5 毫米黑色字迹的签字
超出答题区域书写的答案无效；
1．设集合 A＝{ x|x
A．(－∞，1）
－5x＋6>0} ，B＝{ x|x－1<0} ，则 A∩B＝
B．(－2，1） C．(－3，－1） D．(3，＋ ∞）
2．设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限 3．已知 AB A．－3
＝(2,3），
B．第二象限 C．第三象限
＝1，则
D．第四象限
AC
＝(3，t），
BC AB BC
C．2
＝
D．3
B．－2
4．2024 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星
“鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉
M ，
１
格朗日 L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 定律， r 满足方程：
月球质量为 M２，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力
M
1
2
M
2 2
． M
1
( )
R r
3
3
(R r)
设
r
，由于
r R
4
5 2
R
的值很小，因此在近似计算中
3 3 (1
)
3
3 ，则 r 的近似
值为
A．
M
2
R
B．
M
2 1
R
3M
2 R C． 3
M
R D． 3 2
1
M
1
M
1
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2M 3M
理科数学试题 第 1 页（共 9 页）
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5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，9从
个原始 评分中去掉1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分． 7 个有效评分与 9 个原始评分
相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6．若 a> b，则
A．ln( a- b）>0
B．3
a
<3b C．a3- b3>0 D．│a│ >│b│
7．设 α， β为两个平面，则α∥ β的充要条件是
A． α内有无数条直线与
β平行
B． α内有两条相交直线与 β平行
C． α， β平行于同一条直线 D． α， β垂直于同一平面
2
2
x
y 1 的一个焦点，则p＝
2
＝2px(p>0）的焦点是椭圆
8．若抛物线 y
3p
p
A．2
B．3 C．4 D．8
为周期且在区间(
9．下列函数中，以
， ）单调递增的是
2
4
2
A．f (x）＝ │ cos2x│ B．f (x）＝ │ sin2 x│ C．f (x）＝ cos │x│ D．f (x）＝ sin │x│
）， 2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝
10．已知 α∈(0，
2
A．
1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．
2 5 5
2
2
．设 F 为双曲线 C：
x
y
的右焦点， O
为坐标原点，以
OF 为直径的圆
2
2
1( 0, 0)
a b
a
b
2
2
2
x y a 交于 P，Q 两点．若 PQ
OF ，则C 的离心率为 与圆
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
12．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足f (x 1) 2 f (x)，且当 x (0,1] 时，
f (x) x(x 1) ．若对任意x (
, m] ，都有
8
f ( x)
，则m 的取值范围是
9
A． (
B．
(
, 9
4
]
, 7 3
] C．
( , 5
2
] D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正
点率为 0．97，有 20 个车次的正点率为 0．98，有 10 个车次的正点率为 0．99，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
__________． f x ．若 f (ln 2) 8
，则
a __________．
ax
(
, 8 3
]
11
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14．已知 f (x) 是奇函数， 且当 x
0
时，
( ) e
15． △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．若
__________． 为积
π 3
b 6,a 2c, B
，则△ABC的面
理科数学试题 第 2 页（共 9 页）
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16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是 “半正多面体 ”（图 1）．半正多面
体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．
半正多面体体现了数学的对称美．
图
2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
方体的棱长为 1．则该半正多面体共有 ________个面，其棱长为 _________．（本题第 一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
如图，长方体 ABCD –A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1．
（1）证明： BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE＝A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值．
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
18．（ 12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后， 每球交换发球权， 先多 得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束． 甲、 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为 0．5，乙发球时甲得分的概率为 后，甲先发球，两人又打了
（1）求 P（X＝2）；
（2）求事件 “X＝4 且甲获胜 ”的概率．
0．4，各球的结果相互独立．在某局双方
10:10 平
X 个球该局比赛结束．
19．（ 12 分）
已知数列 { an}和{ bn}满足 a1＝1，b1＝0，4an 1
3an bn 4 ， 4bn 1 3bn an 4 ．
（1）证明： {an＋bn} 是等比数列， {an–bn} 是等差数列； （2）求{ an} 和{ bn} 的通项公式．
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2024年高考全国2卷理科数学及答案
