第3讲 平面向量的数量积及应用举例
1．向量的夹角
定义 已知两个非零向量a→→和b，作OA＝a，OB＝设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围图示 范围 共线与垂直 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直 b，则∠AOB就是a与b的夹角 2.平面向量的数量积 定义 是 0°≤θ≤180° 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b |a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__投影 几何 意义 θ的乘积 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 模 夹角 几何表示 |a|＝a·a cos θ＝坐标表示 2|a|＝x21＋y1 a·b |a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2 22x2x21＋y12＋y2a⊥b的充要条件 a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0 [疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
1
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
?π?(5)两个向量的夹角的范围是?0，?.( )
2??
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]
1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6 C．33 D．3
－122
解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－122，所以|b|＝＝6.
2??
4×?－??2?
2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．
解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案：12
3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量
b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2 [易错纠偏]
(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
→→→
1．已知△ABC的三边长均为1，且AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________． 解析：因为
a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b13＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－.
22
3
答案：－
2
→→
2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影
2
为________．
→→
AB·CD1532→→→→
解析：AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，由定义知，AB在CD方向上的投影为＝＝.
→252|CD|32
答案：
2
3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－
m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×?－?＋2×1＝.
2
5答案：
2
平面向量数量积的运算
(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，
12
?1???
52
AC与BD交于点O.记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
→→→
(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
A．－2 4C．－
3
3B．－
2D．－1
→→→→→→
【解析】 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC) →→→→＝OB·CA＝|OB|·|CA|·cos∠AOB<0，所以I1 3 →→→→→→ |<|OC|·|OD|，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，所以OA·OB>OC·OD，即I1>I3.所以I3 (2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)， C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC→→→ ＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝ 333?23?→→→ 2x＋2?y－?－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－，选择B. 222?2? 2 →→→ 【答案】 (1)C (2)B →→ (变问法)在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD·AE等于________． 解析：法一：(通性通法) 2222因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD＝BD＋AB321282727?2?2 －2BD·AB·cos 60°＝??＋2－2××2×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在 32933?3? 2828?2?2 ＋－??99?3? 2 AD2＋AE2－DE2 △ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝ 2AD·AE13→→→＝，所以AD·AE＝|AD2727142×× 33 27271326→ |·|AE|cos∠DAE＝××＝. 33149 法二：(光速解法) 如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A(0，3)，→??????→??D?－，0?，E?，0?，所以AD＝?－，－3?，AE＝?，－3?，所1 ?3 ? 1?3 ? 1?3 ? 1?3 ? →→?1??1?26以AD·AE＝?－，－3?·?，－3?＝. ?3??3?9 26答案： 9 (1)向量数量积的两种运算方法 ①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 4 (2)数量积在平面几何中的应用 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解． →→→→→ 1．(2020·杭州中学高三月考)若A，B，C三点不共线，|AB|＝2，|CA|＝3|CB|，则CA·CB的取值范围是( ) ?1?A.?，3? ?3??3?C.?，3? ?4? ?1?B.?－，3? ?3??3?D.?－，3? ?4? →→→ 解析：选D.设|CB|＝x，则|CA|＝3|CB|＝3x， 由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如图： x＋3x>2?? 由三角形三边的性质得，?3x＋2>x， ??x＋2>3x1 解得 2 AC2＋BC2－AB2x2＋9x2－410x2－4 由余弦定理的推论得，cos C＝＝＝， 22 2AC·BC6x6x→→→→ 所以CA·CB＝|CA||CB|cos C 10x－42 ＝3x×＝5x－2， 2 6x2 2 132 由 2．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________． 解析：由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤6.①令sin α＋2sin β＝m，② ①＋②得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1， 1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤. 21答案： 2 2 2 2 5
浙江专用2020年新高考数学一轮复习第五章平面向量复数3第3讲平面向量的数量积及应用举例教学案
