《专题：几何“最值问题”常见解决思路》公开课
蓝溪中学 林子旭 2016.04.20
一、教学目标：让学生通过复习、练习、比较熟悉地掌握解决几何最值问题的通常思路和常见模型
二、教学重点：掌握解决最值问题的理论依据与常用模型，能根据不同特征转化成相应的模型是解决最值问题的关键．
三、主要理论依据及模型 1、两点之间线段最短；
2、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
3、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 4、构造函数，利用函数的性质解决
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向1、2、3依据靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例 BA图形 轴对称最值 BAAPlB三角形三边关系 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 作其中一个定点关于定直线l的对称点 P原理 l MNl 两点之间线段最短 两点之间线段最短 A，B为定点，l为定直线，A，B为定点，l为定直线，MN特征 P为直线l上的一个动点，为直线l上的一条动线段，求求AP+BP的最小值 AM+BN的最小值 先平移AM或BN使M，N重作其中一个定点关于定直转化 合，然后作其中一个定点关于线l的对称点 定直线l的对称点 四、模型应用与练习： （一）线段和（PA＋PB）最小：
1、正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一点，则PE＋PB的最小值为 . 2、⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是 ；
3、如图1，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是 .
4、如图2，点A（a，1）、B（－1，b）都在双曲线y＝-3(x<0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上x的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（ ）.
A、y＝x B、y＝x＋1 C、y＝x＋2 D、y＝x＋3
图3
5、如图5，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
（二）线段差（PA－PB）最大
1、如图6，一次函数y＝－2x＋4的图象与x、y轴分别交于点A，B，D 为AB的中点，C、A关于原点对称．P为OB上一动点，请直接写出︱PC－PD︱的范围：___________________．
y A P C O 图6
D A x 2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是____________________．
4．抛物线y＝ax＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一B．点D所在抛物线的对称轴上，求︱DB－DC︱的最大值．
（三）垂线段最短
1、如图7，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值范围是_______________． 2如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小值是（
A．2
B.3
C．4
） D.5
2
图9
3、如图9，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．
（四）构造函数求解 1、如图10，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是 ．
A A F E D 图10
B H 图11
C B 图12
C
3．如图11和12，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝
5（1）如图11，AH⊥BC于点H，13AH＝_____,AC＝____，△ABC的面积S△ABC＝_____．（2）如图12，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE=m,CF＝n（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）
⑴用x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
⑵求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
五、小结：解决几何中最值问题，首选应先分析清楚题意，确定其属于哪种数学模型，或通过问题转化为某种模型进行解决。当然几何中最值问题还有小虫爬行类化曲面为平面问题的、利用圆中直径是最长的弦、图形折叠中的最值等问题，我们后面再继续学习与总结。 六、作业：指南P63-66 A组题完
公开课：几何“最值问题”常见解题思路
