江苏省海安高级中学 2020 届高三阶段性测试（三）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 x ， x ，…， x 的方差 s2 ? 1 ? ( x ? x )2 ，其中 x ? 1 ? x ．
1 2 n i i n n
n
n
锥体的体积V ? 1 Sh ，其中 S 为底面积，h 为高．
3
i?1 i?1
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．．
置上．
．．
1. 设全集 U ? {1，2，3，4，5}．若 UA ? {1，2，5}，则集合 A ? ▲ ．
2. 已知复数 z 满足 (z ? 2)i ? 1 ? i ( i 为虚数单位)，则复数 z 的实部是
1
2
3
4
1
2
▲ ．
3
4
a ，a ，a 的方差为 2，则数据 2a ? 1，2 ? 1，23. 已知样本数据 a ，aa ? 1，2a ? 1 的方差为
▲ ．
4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲
．
S←0
For i From 1 To 10 Step 1
1
S←S＋ i(i＋1)
End For Print S
（第 4 题）
5. 从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位
数为奇数的概率为 ▲ ．
x2 y2
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为10，则双曲 ab
线 C 的渐近线方程为 ▲ ．
7. 将函数 f(x)的图象向右平移 π 个单位后得到函数 y ? 4sin 2 x ? π 的图象，则 f π 的值
6 3 4
????
为 ▲ ．
8. 设定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在区间 [0，? ?) 上是单调减函数，且 f ( x2 ? 3x) ? f (2) ? 0 ，则
实数 x 的取值范围是 ▲ ．
9. 在锐角三角形 ABC 中，若 sin A ? 3 ， tan( A ? B) ? ? 1 ，则 3tan C 的值为
5 3
▲ ．
10. 设 Sn 为数列 ?a
n
?的前n项和．若Sn＝nan－3n(n－1)（，且a n∈N*）
?11，则S20的值为
2
▲ ．
x?y
设正实数，满足11. xy xy ? ，则实数 x 的最小值为
x ? y
▲ ．
C
12. 如图，正四棱柱 ABCD ? A B C D 的体积为 27，点 E ， F
1 1 1 1
D1
A 1
1
分别为棱 B B ， C C 上的点（异于端点），且 EF // BC ，
1
1
B
1
则四棱锥 A ? AEFD 的体积为 ▲ ．
1
F
13．已知向量 a ， b ， c 满足 a ? b ? c ? 0 ，且 a 与 b 的夹角的
D
A
E
C
正切为 ? 1 ， b 与 c 的夹角的正切为 ? 1 ， b ? 2 ，则 a ? c 的
2 3 值为 ▲ ．
B
（第 12 题）
14．已知 f ?x ? ? m ?x ? 2m ??x ? m ? 3? ， g ?x ? ? 2x ? 2 ，若同时满足条件：①?x ? R， f ?x ? ? 0
▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
．．．．．．．
?
或 g ?x ? ? 0 ；② ?x ? ??? ， 4 ? ， f ?x ?? g ?x ? ? 0 ，则实数 m 的取值范围是
明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知△ ABC 的面积为 9 3 ，且 AC ?AB CB= 18 ，向量 m = (tan A + tanB,sin 2C) 和
uuur uuur uuur
(
)
n = (1,cos A cos B) 是共线向量.
（1）求角 C 的大小；
（2）求△ ABC 的三边长.
16．（本题满分14分）
P
F
D
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，已知底面 ABCD 为矩形，且 AB＝ 2，BC＝1，E，F 分别是 AB，PC 的中点，PA⊥DE． （1）求证：EF∥平面 PAD；
C
E B
（2）求证：平面 PAC⊥平面 PDE．
A
（第 16 题）
17．（本题满分14分）
如图，OM，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一
景点，A 为道路 OM 上一游客休息区．已知 tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q 到直线 OM，
6 10
ON 的距离分别为 3(百米)， 5 (百米)．现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至
道路 ON 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路 AB 的长；
（2）已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长
为 9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以 P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时，
．当喷泉表演开始时，一观光车 S（大小忽略不计） r ? 2 at (百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）
正从休息区 B 沿（1）中的轨道 BA 以 2(百米/分钟)的速度开往休息区 A，问：观光车
在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
N
B
P
Q
x2
O A
题） （第 17
M
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：
a2
b2
+
y2
= 1(a > b > 0) 过点 1， 6 ，其离心率
2
? ?
等于 2 ．
2
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若 A，B 分别是椭圆 E 的左，右顶点，动点 M 满足 MB ? AB ，且 MA 交椭圆 E 于
点 P．
uuur uuuur
①求证： OP ? OM 为定值；
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