§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3．等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，
n－1
(a1≠0，q≠0)．
GbaGG2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
?1??an?2
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{an}，{an·bn}，??仍是
?an?
?bn?
等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q. 知识拓展
等比数列{an}的单调性
??a1>0，
(1)满足?
??q>1??a1>0，
(2)满足?
??0 (3)当? ?q＝1? n ??a1<0，或???0 时，{an}是递增数列． 时，{an}是递减数列． 时，{an}为常数列． (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) 2 a?1－an? (5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × ) 1－an(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编 1 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______. 41答案 2 a5113 解析 由题意知q＝＝，∴q＝. a282 3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠 4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则1 答案 － 2 解析 ∵1，a1，a2,4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1. 又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q， 则b2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴ 2 2 33 a1－a2 的值为________． b2 a1－a2－?a2－a1?1 ＝＝－. b2b22 S5 S2 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案 －11 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2， 3 4 S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2? 1－q1－?－2?＝＝－11. 2＝1－q1－4 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝2 KB)． 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2， 则2＝64×2＝2，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟). n10 16 10 5 5 n 题型一 等比数列基本量的运算
高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版
