课时分层作业(四十九) 简单的三角恒等变换
(建议用时:60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
π?2?1.函数f(x)=cos?x+?,x∈R,则f(x)( ) 4??A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 π??1??D [原式=?1+cos?2x+?? 2??2??1
=(1-sin 2x) 211
=-sin 2x, 22
此函数既不是奇函数也不是偶函数.]
cos αcos α
2.已知=3,则的值为( )
1+sin αsin α-1A.
33
B.- C.3 D.-3 33
2
2
cos αcos αcosα1-sinαB [∵·=2=2=-1
1+sin αsin α-1sinα-1sinα-1且
cos αcos α3
=3,∴=-.]
1+sin αsin α-13
12B+C3.在△ABC中,若cos A=,则sin+cos 2A=( )
321
A.-
91C.-
3A [sin==
2
1B. 91D. 3
B+C2
+cos 2A
1-cos?B+C?2
+2cosA-1
21+cos A2
+2cosA-1 2
1=-.]
9
3?ππ?4.已知tan 2α=,α∈?-,?,函数f(x)=sin(x+α)-sin(x-α)-2sin α,4?22?π??且对任意的实数x,不等式f(x)≥0恒成立,则sin?α-?的值为( )
4??
25
A.-
523C.-
5
B.-
5 53 5
D.-
32tan α31
A [由tan 2α=,即=,得tan α=或tan α=-3.又f(x)=sin(x+α)2
41-tanα43-sin(x-α)-2tan α=2cos xsin α-2sin α≥0恒成立,所以sin α≤0,tan α=-3,sin α=-故选A.]
5.已知f(x)=2sinx+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A.2π,?
2
310
,cos α=
1
π?ππ25?,所以sin?α-?=sin αcos-cos αsin=-,4?445?10
?3π,7π?
?8??8
B.π,?
?3π,7π?
?8??8
?π3π?C.2π,?-,?
8??8
B [∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x π??=1+2sin?2x-?, 4??
2π
∴f(x)的最小正周期T==π,
2由
?π3π?D.π,?-,?
8??8
ππ3π
+2kπ≤2x-≤+2kπ, 242
得f(x)的单调减区间为
3π7π
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 88当k=0时,得f(x)的一个单调减区间?二、填空题
6.有以下四个关于三角函数的命题: ①?x0∈R,sin
20
?3π,7π?,故选B.]
8??8?
x2
+cos
20
x1
=;②?x0,y0∈R,sin(x0-y0)=sin x0-sin y0;③?x∈[0,22
π],1-cos 2xπ
=sin x;④sin x=cos y?x+y=. 22
其中假命题的序号为________.
12x2x①④ [因为sin+cos=1≠,所以①为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x222-sin y,所以②为真命题;因为1-cos 2x=2
1-?1-2sinx?
=|sin x|=sin x,x∈[0,
2
2ππ
π],所以③为真命题;当x=,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠,所以④为假命题.]
22
7.化简下列各式:
ππ
(1)<α<,则1-sin 2α=________.
42(2)α为第三象限角,则
1+cos 2α1-cos 2α
-=________.
cos αsin α
?ππ?(1)sin α-cos α (2)0 [(1)∵α∈?,?,∴sin α>cos α,
?42?
∴1-sin 2α=1-2sin αcos α =sinα-2sin αcos α+cosα =?sin α-cos α?=sin α-cos α.
(2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0, 1+cos 2α1-cos 2α2cosα2sinα∴-=- cos αsin αcos αsin α=
-2cos α-2sin α
-=0.]
cos αsin α
2
2
2
2
2
8.函数f(x)=cos 2x+4sin x的值域是________.
[-5,3] [f(x)=cos 2x+4sin x=1-2sinx+4sin x=-2(sin x-1)+3. 当sin x=1时,f(x)取得最大值3, 当sin x=-1时,f(x)取得最小值-5, 所以函数f(x)的值域为[-5,3].] 三、解答题
3xx2sin x9.求证:tan-tan=. 22cos x+cos 2x3xx[证明] 法一:(由左推右)tan-tan 22
2
2
3xxsinsin
22=-
3xxcoscos
22
3xx3xxsincos-cossin
2222= 3xxcoscos22
?3xx?sin?-??22?= 3xxcoscos
22
=
sin x 3xxcoscos
22
2sin x=
?3xx??3xx?cos?+?+cos?-??22??22?
2sin x.
cos x+cos 2x
=
2sin x法二:(由右推左)
cos x+cos 2x?3x-x???22?
= 3xx?3xx???cos?-?+cos?+??22??22?
2sin?
3xx??3xx2?sincos-cossin?2222??= 3xx2coscos223xxsinsin
223xx=-=tan-tan.
3xx22coscos
22
??22
10.已知函数f(x)=2cos,g(x)=?sin+cos?.
2?2?2
(1)求证:f?
xxx?π-x?=g(x);
??2?
x(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π]的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值. [解] (1)证明过程如下:f(x)=2cos=1+cos x,
2
2
g(x)=???
sinx2
+cosx2??2?
=1+2sinxx2cos2
=1+sin x,
∵f??π?2-x???=1+cos??π?2-x???=1+sin x, ∴f??π?2-x???
=g(x),命题得证. (2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cos x-sin x =2?
?2?2cos x-2?
2sin x??
=2cos??π?
x+4???, ∵x∈[0,π], ∴π4≤x+π5π
4≤4
, 当
ππ3π
4≤x+4≤π,即0≤x≤4
时,h(x)递减, 当π≤x+π5π3π
4≤4,即4
≤x≤π时,h(x)递增.
∴函数h(x)的单调递减区间为??3π?
0,4???,
单调递增区间为?
?3π?4,π??
?
,
根据函数h(x)的单调性,可知当x=3π
4
时,函数h(x)取到最小值.
[等级过关练]
1.设a=11-cos 72°
2cos 7°+32sin 7°,b=2tan 19°
1-tan2
19°,c=2
,则有( A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b
D.c>b>a
A [∵a=sin 37°,b=tan 38°,
c=sin 36°,
∴b>a>c.]
2.设α∈???0,π2???,β∈??π?
0,2??sin αcos β?,且cos α=1-sin β,则( )
)
2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业49简单的三角恒等变换(含解析)新人教A版必修第一册
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