课时分层作业(四十九) 简单的三角恒等变换
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
π?2?1．函数f(x)＝cos?x＋?，x∈R，则f(x)( ) 4??A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 π??1??D [原式＝?1＋cos?2x＋?? 2??2??1
＝(1－sin 2x) 211
＝－sin 2x， 22
此函数既不是奇函数也不是偶函数．]
cos αcos α
2．已知＝3，则的值为( )
1＋sin αsin α－1A.
33
B．－ C.3 D．－3 33
2
2
cos αcos αcosα1－sinαB [∵·＝2＝2＝－1
1＋sin αsin α－1sinα－1sinα－1且
cos αcos α3
＝3，∴＝－.]
1＋sin αsin α－13
12B＋C3．在△ABC中，若cos A＝，则sin＋cos 2A＝( )
321
A．－
91C．－
3A [sin＝＝
2
1B. 91D. 3
B＋C2
＋cos 2A
1－cos?B＋C?2
＋2cosA－1
21＋cos A2
＋2cosA－1 2
1＝－.]
9
3?ππ?4．已知tan 2α＝，α∈?－，?，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，4?22?π??且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin?α－?的值为( )
4??
25
A．－
523C．－
5
B．－
5 53 5
D．－
32tan α31
A [由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)2
41－tanα43－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－故选A.]
5．已知f(x)＝2sinx＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π，?
2
310
，cos α＝
1
π?ππ25?，所以sin?α－?＝sin αcos－cos αsin＝－，4?445?10
?3π，7π?
?8??8
B．π，?
?3π，7π?
?8??8
?π3π?C．2π，?－，?
8??8
B [∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x π??＝1＋2sin?2x－?， 4??
2π
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
2由
?π3π?D．π，?－，?
8??8
ππ3π
＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 242
得f(x)的单调减区间为
3π7π
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 88当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间?二、填空题
6．有以下四个关于三角函数的命题： ①?x0∈R，sin
20
?3π，7π?，故选B.]
8??8?
x2
＋cos
20
x1
＝；②?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③?x∈[0，22
π]，1－cos 2xπ
＝sin x；④sin x＝cos y?x＋y＝. 22
其中假命题的序号为________．
12x2x①④ [因为sin＋cos＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x222－sin y，所以②为真命题；因为1－cos 2x＝2
1－?1－2sinx?
＝|sin x|＝sin x，x∈[0，
2
2ππ
π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．]
22
7．化简下列各式：
ππ
(1)＜α＜，则1－sin 2α＝________.
42(2)α为第三象限角，则
1＋cos 2α1－cos 2α
－＝________.
cos αsin α
?ππ?(1)sin α－cos α (2)0 [(1)∵α∈?，?，∴sin α＞cos α，
?42?
∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α ＝sinα－2sin αcos α＋cosα ＝?sin α－cos α?＝sin α－cos α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， 1＋cos 2α1－cos 2α2cosα2sinα∴－＝－ cos αsin αcos αsin α＝
－2cos α－2sin α
－＝0.]
cos αsin α
2
2
2
2
2
8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
[－5,3] [f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sinx＋4sin x＝－2(sin x－1)＋3. 当sin x＝1时，f(x)取得最大值3， 当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5， 所以函数f(x)的值域为[－5,3]．] 三、解答题
3xx2sin x9．求证：tan－tan＝. 22cos x＋cos 2x3xx[证明] 法一：(由左推右)tan－tan 22
2
2
3xxsinsin
22＝－
3xxcoscos
22
3xx3xxsincos－cossin
2222＝ 3xxcoscos22
?3xx?sin?－??22?＝ 3xxcoscos
22
＝
sin x 3xxcoscos
22
2sin x＝
?3xx??3xx?cos?＋?＋cos?－??22??22?
2sin x.
cos x＋cos 2x
＝
2sin x法二：(由右推左)
cos x＋cos 2x?3x－x???22?
＝ 3xx?3xx???cos?－?＋cos?＋??22??22?
2sin?
3xx??3xx2?sincos－cossin?2222??＝ 3xx2coscos223xxsinsin
223xx＝－＝tan－tan.
3xx22coscos
22
??22
10．已知函数f(x)＝2cos，g(x)＝?sin＋cos?.
2?2?2
(1)求证：f?
xxx?π－x?＝g(x)；
??2?
x(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值． [解] (1)证明过程如下：f(x)＝2cos＝1＋cos x，
2
2
g(x)＝???
sinx2
＋cosx2??2?
＝1＋2sinxx2cos2
＝1＋sin x，
∵f??π?2－x???＝1＋cos??π?2－x???＝1＋sin x， ∴f??π?2－x???
＝g(x)，命题得证． (2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x ＝2?
?2?2cos x－2?
2sin x??
＝2cos??π?
x＋4???， ∵x∈[0，π]， ∴π4≤x＋π5π
4≤4
， 当
ππ3π
4≤x＋4≤π，即0≤x≤4
时，h(x)递减， 当π≤x＋π5π3π
4≤4，即4
≤x≤π时，h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为??3π?
0，4???，
单调递增区间为?
?3π?4，π??
?
，
根据函数h(x)的单调性，可知当x＝3π
4
时，函数h(x)取到最小值．
[等级过关练]
1．设a＝11－cos 72°
2cos 7°＋32sin 7°，b＝2tan 19°
1－tan2
19°，c＝2
，则有( A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
A [∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，
c＝sin 36°，
∴b＞a＞c.]
2．设α∈???0，π2???，β∈??π?
0，2??sin αcos β?，且cos α＝1－sin β，则( )
)
2024_2024学年新教材高中数学课时分层作业49简单的三角恒等变换(含解析)新人教A版必修第一册
