24.3.1 第2课时 特殊角的锐角三角函数值

第2课时 特殊角的三角函数值

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)

3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°；

sin30°－sin45°(2). cos60°＋cos45°

解析：将特殊角的三角函数值代入求

解．

1123

解：(1)原式＝2××－6××

222213

＝－＝－1； 22

1－2

(2)原式＝

1＋2

22

＝22－3. 22

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．

解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在

[来源:1ZXXK][来源:1ZXXK]解析：∵cos30°＝

32，cos45°＝，22

1122

cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cos

2232

α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α

＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

【类型三】 根据三角函数值求角度 [来源学&科&网Z&X&X&K] 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α

的度数是( )

A．20° B．30° C．40° D．50°

解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝

33

.∵tan30°＝，∴α＋10°＝33

6

30°，∴α＝20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 如图，在△ABC中，∠ABC＝

90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．

方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 2

若cosα＝，则锐角α的大致范

3

围是( )

A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°

Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝

BC

，即AB

BC3

＝，解得BC＝2(3＋1)． BC＋43

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

【类型二】 判断三角形的形状 第 1 页

已知△ABC中的∠A与∠B满足

(1－tanA)2＋|sinB－

3|＝0，试判断△ABC2

三、板书设计

1．特殊角的三角函数值： sinα cosα tanα

30° 1 23 23 345° 2 22 21 60° 3 21 23 [来的形状．

解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－tanA＝1，sinB＝3

|＝0，∴2

3

，∴∠A＝45°，∠B＝2

2.应用特殊角的三角函数值解决问题．

源:1ZXXK]60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30°的值，可构造如图所

示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝AC13

＝＝.在此图的基础上，通过添加适BC33当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

源:1ZXXK][来 课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.

解析：根据角平分线的性质以及勾股定

理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝CDBC

，tan75°＝求出即可． BCCD

解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°23－3BC3＝＝2－3，tan75°＝＝CD23－33＝2＋3.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

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