复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断历来成为学生判断单调性的一个难点，究其原因主要是对函数单调性的定义及函数单调性的实质没有从根本上理解清楚。研究函数单调性必须弄清函数单调性的目地和本质。
一、 函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于某区间内的任意两个实数x1,x2且x1< x2时，都有f(x1) 对于函数y=f(x)，如果对于某区间内的任意两个实数x1,x2且x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)成立，称函数y=f(x)在该区间上是严格单调递减函数。 二、函数单调性的目地和实质 函数的单调性正是从运动的观点来反应自变量x和函数值y之间的一种变化趋势。研究函数的单调性正是研究函数的自变量x和函数值y之间的这种变化关系。严格单调递增函数反应的是自变量x和函数值y之间的变化趋势相同即x增大时y增大，x减小时y减小；严格单调递减函数反应的是自变量x和函数值y之间的变化趋势相反即x增大时y减小，x减小时y增大。函数的单调性的实质正是反应了自变量x和函数值y之间的这种变化趋势。 三、 复合函数单调性的判断 复合函数单调性的判断是借助于自变量x与内层函数的关系及内层函数与函数值y之间的关系从而建立起自变量x和函数值y之间的关系 例1、 确定函数y=2(x分析： 该函数可看成复合函数f(g(x))即f(g(x))＝2g(x)且其定义域是R,其中f(x)=2x为外层函数,g(x)=x2－2x+3为内层函数.函数f(x)=2x的在其定义域R上严格单调递增,函数g(x)=x2－2x+3在(-?,+1)上是减函数，在[+1,+?)上是增函数。且当x?R总有g(x) ?R即内层函数的值域总落在外层函数的增区间上，所以当x????,?1?时，x增大g(x)减小，g(x)减小则f(g(x))也减小即(-?,+1)是函数f(g(x))的减区间，类似[+1,+?)是函数f(g(x))的增区间。 例2、 确定函数y=22x-2·2x+5单调区间 2?2x?3)单调区间 分析： 该函数可看成复合函数f(g(x))即f(g(x))＝(g(x))2-2g(x)+5且其定义域是R,其中f(x)=x2-2x+5为外层函数,g(x)=2x为内层函数.当x????,0?时g(x)??0,1?，函数f(x)=x2-2x+5在?0,1?上是减函数，故???,0?是函数f(g(x))的减区间，类似?0,???是函数f(g(x))的增区间。 总结： 判断复合函数f(g(x))在区间A上的单调性应首先确定内外层函数及外层函数的单调区间，当x在区间A上取值时，若内层函数g(x)的值域落在外层函数严格增区间时，函数f(g(x)) 在区间A上的单调性与内层函数在区间A上的单调性一致，否则相反。如例1。当x在区间A上取值时，若内层函数g(x)的值域没有完全落在外层函数的严格单词区间上，则应根据外层函数的单调区间把A分成若干区间，使内层函数在各区间上的值域分别落在外层函数的严格单调区间上如例2，其它同上。 练习：1、研究下列函数的单调区间 （1）y=2 x?12 (2) y=log1?x?3x?4? 2 2、已知函数y=loga 3、判断函数y=logax?1在(0,1)上是减函数，问函数在（1，＋?）的单调性。 (a>0且a?1,b>0)的单调性并求其值域。 x?bx?b24、函数y=log2?x?ax?3?在区间（1，＋?）严格单调递增，求a的取值范围。 参考答案： 1、（1）、在???,1?上是减函数，在?1,???上是增函数；（2）、在???,?1?上是增函数，在 ?4,???上是减函数。2、因函数y=logax?1及其真数部分在（0，1）上均为减函数，故a>1， x?1而真数在（1，＋?）上是增函数故数y=loga域是 在（1，＋?）上是增函数。3、函数的定义 ???,?b???b,???且其真数在其上是减函数故当a>1时函数递减,当0 因为在其定义域内真数的取值范围是?0,1???1,???故其值域是y?R且y?0。 4、由题知其真数部分在（1，＋?）严格单调递增且恒正故有{1a?a?3?0得a??2。 2?1
《复合函数单调性的复习》
