xy??36＋9＝1，联立?
??y－2＝k?x－4?，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 32k2－16k则x1＋x2＝，
1＋4k2
由于AB的中点恰好为P(4,2)， x1＋x216k2－8k1所以＝＝4，解得k＝－.
221＋4k21
这时直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
21
即y＝－x＋4.
2
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22
?则有?xy
?36＋9＝1，
2222x2y211＋＝1，369
22x2－x2y2－y211
两式相减得＋＝0.
369
由于P(4,2)是AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 从而(x2－x1)＋2(y2－y1)＝0，kAB＝11
－(x－4)，即y＝－x＋4. 22
1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求
y2－y1
1
＝－，于是直线AB，即为l的方程为y－2＝
2x2－x1
解．也可以直接代入弦长公式：|P1P2|＝?y1＋y2?2－4y1y2求解．
1＋k2?x1＋x2?2－4x1x2＝
11＋2k
2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：
法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y后转化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．
法二：通过弦AB的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．
x2y2
过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求
42AB所在的直线方程及弦长|AB|.
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B两点在椭圆上，
222
∴x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4.
两式相减，得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 显然x1≠x2，
y1－y2x1＋x2故由①得：kAB＝＝－.
x1－x22?y1＋y2?又点P(－1,1)是弦AB的中点， ∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. 1
把③代入②得：kAB＝，
2
1
∴直线AB的方程为y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0
2
③ ② ①
??x－2y＋3＝0，由?x2y2消去y得3x2＋6x＋1＝0， ??4＋2＝1，
1∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
3
|AB|＝＝
1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2
124301＋·＝. 433
与椭圆相关的实际应用问题
图2－1－3
如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行
车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
【思路探究】
恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!
x2y2
【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为2＋2＝1.
ab∵P(11,4.5)在椭圆上， 1124.52
∴2＋2＝1， ab
447又b＝h＝6代入①式，得a＝.
7887
此时l＝2a＝≈33.3(米)．
7因此隧道的拱宽约为33.3米．
1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．
2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，
又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m， x2y2
则椭圆的方程为2＋2＝1.
5030
考虑第一象限内的情况，设A(x0，y0)， x2y200则有1＝2＋2≥25030
2x22x0y00y0， 2·2＝50301 500
x2y2100
当且仅当2＝2＝，
50302
即x0＝252，y0＝152时，等号成立，
此时矩形ABCD的面积S＝4x0y0取最大值3 000 m2.
这时矩形的周长为4(x0＋y0)＝4(252＋152)＝1602 (m).
(对应学生用书第27页)
运用“设而不求”法研究直线和
椭圆位置关系问题
x2y2
(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，过点
ab
π3
A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为. 62
(1)求椭圆的方程；
→→
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若ED＝2DF，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
2.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 教案(人教A版选修1-1).
