升级增分训练 三角函数与平面向量
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1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|OA＋3――→→―→―→OB|≥|AB|，那么OA·OB的取值范围是( )
3
A．[－2,4) C．(－4,2)
B．(－2,4) D．(－4,2]
1――→―→→―→解析：选A 依题意，(OA＋OB)2≥(OB－OA)2， 3―→―→化简得OA·OB≥－2， 又根据三角形中，两边之差小于第三边， ―→―→―→―→―→可得|OA|－|OB|＜|AB|＝|OB－OA|， ―→―→―→―→两边平方可得(|OA|－|OB|)2＜(OB－OA)2， ―→―→―→―→化简可得OA·OB＜4，∴－2≤OA·OB＜4． ―→―→2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋―→―→―→―→―→AC且|OA|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为( ) 1A． 21C．－ 2B．3 23 2D．－―→―→―→解析：选A 由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点， 即BC为△ABC外接圆的直径， ―→―→―→―→―→所以|OA|＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1， 故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°． 1―→―→―→所以向量BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝1×cos 60°＝．故选A． 23．(2017·石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A．[－2，1] C．[－1,1]
B．[－1，2] D．[1，2]
解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，
0≤α≤π，??π
∴α－β＝，又? π20≤β＝α－≤π，?2?π
则≤α≤π， 2
∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) π
2α－α＋?＋sin(α－2α＋π) ＝sin?2??πα＋?， ＝cos α＋sin α＝2sin??4?π3ππ5π∵≤α≤π，∴≤α＋≤， 2444πα＋?≤1， ∴－1≤2sin??4?即所求取值范围为[－1,1]．故选C． 4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是( ) A．1 C．2 B．2 D．22
解析：选D ∵向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|， ∴|c－(a＋b)|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|， ∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤2?|a＋b|2＋|a－b|2?＝2?2a2＋2b2?＝22． 当且仅当|a＋b|＝|a－b|， 即a⊥b时，(|a＋b|＋|a－b|)max＝22． ∴|c|≤22．∴|c|的最大值为22． ωx115．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R．若f(x)在区222间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) 10，? A．??8?50，? C．??8?
150，?∪?，1? B．??4??8?1150，?∪?，? D．??8??48?
1－cos ωx11
解析：选D f(x)＝＋sin ωx－ 222π12
ωx－?． ＝(sin ωx－cos ωx)＝sin?4??22因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
T
所以＞2π－π，
2
π
即＞π，所以0＜ω＜1． ω当x∈(π，2π)时，
πππ
ωπ－，2ωπ－?， ωx－∈?44?4?若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点， ππ则ωπ－＜kπ＜2ωπ－(k∈Z)， 44k11即＋＜ω＜k＋(k∈Z)． 28411当k＝0时，＜ω＜； 8455当k＝1时，＜ω＜． 84所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时， 1150＜ω≤或≤ω≤． 848ππ6．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤2?，x＝－为f(x)的零点，??4π5π?πx＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在??18，36?上单调，则ω的最大值为( ) 4A．11 C．7 πB．9 D．5 解析：选B ?－4ω＋φ＝kπ，k∈Z，由题意得?ππω＋φ＝kπ＋，k∈Z，?421122 ππ则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－． 44π若ω＝11，则φ＝－，
4
ππ3π
11x－?，f(x)在区间?，?上单调递增， 此时f(x)＝sin?4???1844?3π5π?在区间??44，36?上单调递减，
π5π?π
，上单调；若ω＝9，则φ＝， 不满足f(x)在区间??1836?4
ππ5π
此时f(x)＝sin?9x＋4?，满足f(x)在区间?18，36?上单调递减，故选B．
????
7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝3，且a≥c，则2a－c的最小值是________．
解析：由a2＋c2－b2＝2accos B＝ac， 1
所以cos B＝，则B＝60°，又a≥c，
2则A≥C＝120°－A， 所以60°≤A＜120°， acb3＝＝＝＝2， sin Asin Csin B32则2a－c＝4sin A－2sin C ＝4sin A－2sin(120°－A) ＝23sin(A－30°)， 当A＝60°时，2a－c取得最小值3． 答案：3 18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，
2当tan(A－B)取最大值时，角B的值为______． 1解析：由acos B－bcos A＝c及正弦定理， 21得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C 211＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)， 22整理得sin Acos B＝3cos Asin B， 即tan A＝3tan B， 易得tan A＞0，tan B＞0， ∴tan(A－B)＝＝
2
tan A－tan B2tan B
＝ 1＋tan Atan B1＋3tan2 B
23≤＝，
1233＋3tan Btan B
1
＝3tan B， tan B
当且仅当
即tan B＝
3
时，tan(A－B)取得最大值， 3
π
此时B＝．
6π
答案： 6
9．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．
a＋b解析：由于e是任意单位向量，可设e＝， |a＋b|?a＋b???b·?a＋b???a·则|a·e|＋|b·e|＝?＋??? ?|a＋b|??|a＋b|??a＋b?b·?a＋b???a·＋≥?? |a＋b|??|a＋b|?a＋b????a＋b?·＝??＝|a＋b|． ?|a＋b|?∵|a·e|＋|b·e|≤6，∴|a＋b|≤6， ∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6． ∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6， 11∴a·b≤，∴a·b的最大值为． 221答案： 210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x)＝2sin x＋6cos x(x∈R)． (1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α； 1(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的2图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝的最小值． 解：(1)f(x)＝2sin x＋6cos x 3?1?
＝22?sin x＋cos x?
2?2?πx＋?． ＝22sin??3?
π2
α＋?＝， 由f(α)＝2，得sin??3?2
3π对称，求θ4
高一数学升级增分训练 三角函数与平面向量
