5x． …………………5分 85过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?x．
8∴ OD?在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM．
BCAC55?x8?25x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分
49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
M N ∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2． O ABAP2∴ x＝
故以下分两种情况讨论：
B
3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2．
8∴ 当x＝2时，y最大?P 图 3
C 323?2?. ……………………………………8分 82A ② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC，
M ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．
∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB．
B E P
O N C F 图 4
S?PEF?PF?∴ ?． ??ABS???ABC∴ S?PEF?232?x?2?． ……………………………………………… 9分 23392y?S?MNP?S?PEF＝x2??x?2???x2?6x?6．……………………10分
8282929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2．
88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………11分 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． …………………………12分
3∴ 当x?8.
9. [解] （1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，
△PAB∽△RDQ．
Q四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，?BC?AD?CE，AC∥DE，（2）
?PB?PR，
PC1△PCQ∽△RDQ． ?．又QPC∥DR，?RE2PQPCPC1???．?QR?2PQ． QRDRRE2Q点R是DE中点，?DR?RE．?又QBP?PR?PQ?QR?3PQ，?BP:PQ:QR?3:1:2． 10. （1）∵△ABC为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA
又∵CH为底边上的高，P为高线上的点 ∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF （2）∵AC=BC
∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF
∴△ACE～△BCF(AAS) ∴AE=BF （3）若存在点P能使
S△ABC=S△ABG，因为AE=BF，所以△ABG也是一个等腰三角形，这两
个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC～△ABG，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C＜90°
11. 解：⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； …………………………………………………4分
（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）
C ⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形，
E ∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. ……5分 F
∴ △CFE ∽△CAB.
A
D
第11题图
B
∴
EFCF.…………………………………6分 ?BACA∵ AC = 2 ，AB = 6，
设AD = DE = EF = FA = x，
x6?x. ………………………………………………………………………………………………………7分 ?2633∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ………………………………………………………………8分
22∴
（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找
到D点或F点，给2分） 12. （1）证明：
Q CF平分?ACB，
∴ ?1??2. 又∵ DC?AC,
∴ CF是△ACD的中线， ∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点， ∴ EF∥BD, 即 EF∥BC.
（2）解：由（1）知，EF∥BD， ∴ △AEF∽△ABD , ∴
S?AEFAE2?(). S?ABDAB 又∵ AE?1AB, 2 S?AEF?S?ABD?S四边形BDFE?S?ABD?6, ∴
S?ABD?612?() ,
S?ABD2 ∴ S?ABD?8,
∴ ?ABD的面积为8.
13. 提示：（1）如图，AD即为所求。 （2）VABD:VCBA，理由如下：
AD平分?BAC,?BAC?2?C,则?BAD??BCA，又?B??B，故VABD:VCBA。 14.
15. 解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：
① ② ，①③， ①④， ②③， ②④， ③④……………２分 其中有两组（①③， ②④）是相似的．
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=?1…………4分 3（2）证明：选择①、③证明．
在△AOB与△COD中, ∵AB∥CD,
∴∠CDB＝∠DBA , ∠DCA＝∠CAB,
∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB＝∠CAB, ∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB＝∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分 ∴∠ADO＝∠BCO.
又∠DOA＝∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分 16. 解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB. ………………………………………2分 ⑵∵四边形ABCD是平行四边形， ∥CD， ∴AD∥BC，AB＝
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，……………3分 ∵DE?1CD, 222S1S?DEF?DE?1?DE?∴?DEF??,??????,…………4分 S?CEB?EC?9S?ABF?AB?4∵S?DEF?2,
∴S?CEB?18,S?ABF?8,……………………………………6分 ∴S四边形BCDF?S?BCE?S?DEF?16,
∴S四边形ABCD?S四边形BCDF?S?ABF?16?8?24.…………7分 17. (1)证明：∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90，
o
又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90，∴∠ABC=∠ADB， 又∵PB是圆的切线，∴∠ABD=∠ACB， 在△ABC和△ADB中：
o
??ABC??ADB，∴△ABC∽△ADB; ??ABD??ACB?（2）连结OP,在Rt△AOP中，AP=12厘米,OA=5厘米,根据勾股定理求得OP=13厘米,又由已知可证得△ABC∽△PAO, ∴
ABAPAB12120,得厘米. ??,解得AB=
ACOP101313
2024中考数学专题复习——相似三角形
