奥数列方程解应用题

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列方程解应用题

列方程解应用题的一般步骤是：

①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；

②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设 未知数；

③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； ④解方程；

⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不 变量”找等量关系。

一些基本概念：

（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元 一次方程；

（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元 一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；

（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个 方程才能求出唯一解.

如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.

类型Ⅰ：列简易方程解应用题

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【例1】

（难度系数：★★）解下列方程：

（2）4?x?5?2x

（4）13?2(2x?3)?5?(x?2) （6）

（1）3x?5?x?7 （3）1?2(3?x)?x?7 （5）8???(x?)??2x

352（7）?

分析：（1）

?5?11??x?1x??1 23?x?y?5

2x?y?7?（8）??2x?3y?11

3x?2y?9?移项得：3x?x?7?5,注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：2x?2,等式两边同时除以2可得：x?1.把x?1代入原式满足等式.

以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验. （2）2x?x?5?4，x?1.

（3）1?6?2x?x?7，7?7?3x，x?0.

（4）13?4x?6?5?x?2，19?4x?7?x，19-7=4x?x，12?3x，x?4.

4??x???x，x??x，x?x?，x?，x?10. （5）4???(x?)??x，3526?333333???3（6）3（x?1）-2x?6，3x?3?2x?6，x?3.

请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。 （7）法1：加减消元法 （8）

?511??15?410410110（1）?2x?3y?11　　（1）?x?y?5　　??（2）2x?y?7　　（2）?3x?2y?9　　?（1）?3-（2）?2可得：5y?15，y?3,（2）式-（1）式可得：x?2， 将其代入（1）式可得：x?1.代入（1）式可得：y?3，?x?2所以??y?3法2：代入法.

建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：（1）代入法，以及代入法在什么情况下

?x?1所以可得：??y?3学习好资料 欢迎下载

好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.

【例2】

（难度系数：★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员

按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）

分析：72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：

340×4=2x+2×4，解得x=676（米）. 【例3】

（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60

厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？

分析： 法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），绳长600厘米；

法2：设绳长是y厘米，则有：y-60=y+40,　　解得绳长y=600（厘米），井深240厘米.

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【例4】

（难度系数：★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两

个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?

分析：设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．

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【例5】

（难度系数：★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。

他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？

分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即

x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9． 【例6】

（难度系数：★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一

辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？

分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得

解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.

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【例7】

（难度系数：★★★★）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.

老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，三个班总共分了多少个枣？

分析：法1：设甲班有x人，则乙班有（x－4）人，丙班有（x－8）人；甲班每人分得y个枣，则乙班每人分得（y+3）个，丁班每人分得（y+8）个．那么有甲班共分得xy个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙班共分得(x-8)(y+8)个枣．

?xy?(x?4)(y?3)?3?3x?4y?9?x?19，整理有，解得． ???xy?(x?8)(y?8)?8x?y?7y?12???因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673(个) ，所以，三班共分673个枣． 法2：

人数每人枣数共分枣数甲班x?8x?4xy?8y?5yz?8z?5z乙班丙班

先看甲、丙两班，有甲班x人比丙班x人少分8x颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8个，所以甲班多出的8人共分得8x+8颗枣，即每人分得x+1颗枣．那有

甲班乙班丙班人数每人枣数x?8x?1x?4xx?4x?9

再看乙、丙班，乙班x人比丙班x人少分5x颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5个枣，所以乙班多出的4人共分得5x+x颗枣，即每人分得(5x+5)÷4颗枣．有(5x+5)÷4＝x+4，解得x＝11．因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙