（2）顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)
2（3）当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x222存在时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 （10分）
224ac?b2bb当x??时，y最值?。如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?是
4a2a2a4ac?b2b否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围
4a2a内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x222时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax1?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，22则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。
考点四、二次函数的性质 （6~14分） 1、二次函数的性质
二次函数
函数
a>0
y
图像
0 x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=?性质
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
a<0
y
0 x
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
bbbb，顶点坐标是（?，（2）对称轴是x=?，顶点坐标是（?，2a2a2a2a4ac?b2）； 4a4ac?b2）； 4a（3）在对称轴的左侧，即当x?的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>?b时，y随x的增大而增大，简记左减2ab时，y随x的增大而减小，简记左2a右增；
（4）抛物线有最低点，当x=?增右减；
bb时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=?时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值4ac?b2?
4a24ac?b2?
4a2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上
a<0时，抛物线开口向下 b与对称轴有关：对称轴为x=?b 2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
3、二次函数与一元二次方程的关系 当?>0时，图像与x轴有两个交点；当?=0时，图像与x轴有一个交点；当?<0时，图像与x轴没有交点。
补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为
?x1?x2?2??y1?y2?2
2、函数平移规律：左加右减、上加下减
第二十四章 圆
考点一、弦、弧等与圆有关的定义 （3分） （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）
（3）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“
”，读作“圆弧AB”或
“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧
（多用两个字母表示）
考点二、垂径定理及其推论 （3分）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦
直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧
考点三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （3分） 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点四、圆周角定理及其推论 （3~8分）
1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点五、点和圆的位置关系 （3分）
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d
考点六、过三点的圆 （3分）
1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点七、直线与圆的位置关系 （3~5分）
直线和圆有三种位置关系，具体如下：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交?d
1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点九、切线长定理 （3分）
1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
考点十、三角形的内切圆 （3~8分）
1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十一、圆和圆的位置关系 （3分） 1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离?d>R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R-r
考点十二、弧长和扇形面积 （3~8分）
1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l?n?r 180n1 ?R2?lR n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
360213、圆锥的侧面积：S?l?2?r??rl 其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的
22、扇形面积公式：S扇?地面半径。
补充： 1、相交弦定理
⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AE?BE=CE?DE 2、弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即：∠BAC=∠ADC 3、切割线定理
PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线， 则PA?PB?PC
2第二十五章 概率初步
考点一、频率分布 （6分）
1、研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念：①极差：最大值与最小值的差；②频数：落在各个小组内的数据的个数 ③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 考点二、确定事件和随机事件 （3分）
1、确定事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 考点三、概率的意义与表示方法 （5~6分）
1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
n会稳定在某个常数p附近，m那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P
考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3分）
1、确定事件概率：当A是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 考点五、古典概型 （3分）
1、古典概型的概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=考点六、列表法求概率 （10分）考点七、树状图法求概率 （10分）
m n第二十六章 反比例函数
考点一、反比例函数 （3~10分）
1、反比例函数中反比例系数的几何意义：过反比例函数y?k(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴x的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。
?y?k,?xy?k,S?k。 x第二十七章 图形的相似
考点一、比例线段 （3分）
考点二、平行线分线段成比例定理 （3~5分）
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点三、相似三角形 （3~8分） 1、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 2、直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 3、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
初中数学知识点归纳总结（精华版）
