22.3 第2课时 相似三角形的应用
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通过对实际问题的分析从中抽象出几何图形，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．
目标 相似三角形的应用
例1 ［教材补充例题］如图22－3－4，小林用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知三角形纸板的两条直角边DE＝0.6 m，EF＝0.3 m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.
图22－3－4
【归纳总结】利用相似三角形的知识解决实际问题的关键是构造相似三角形数学模型，常用数学模型如下：
(1)利用“太阳光下，同一时刻的物高和影长对应成比例”构造相似三角形； (2)利用“标杆在测量中的作用”构造相似三角形； (3)利用“平面镜的反射原理”构造相似三角形． 相似模型如图22－3－5所示：
图22－3－5
例2 ［教材补充例题］如图22－3－6，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，D，使点A，B，D共线且直线AD与河垂直，在过点D且与AD垂直的直线上选择适当的点E，确定AE与过点B且垂直于AD的直线的交点为C，测得BD＝45 m，DE＝90 m，BC＝60 m，求河的宽度AB.
图22－3－6
【归纳总结】利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的地面上的水平距离．解决此类问题的关键是根据题意设计出合适的图形，从图形中构造出相似三角形．在测距问题中，最常用的相似三角形模型如图22－3－7所示．
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图22－3－7
知识点 相似三角形的应用
在现实生活中，有许多不便于测量的垂直高度或水平距离．对于这些实例，可以设计出方便操作的相似模型，从而求出它们的垂直高度或水平距离．
[点拨] 相似三角形应用的常见问题：(1)利用太阳光求物体的高度；(2)利用影子求物体的高度；(3)利用标杆或三角尺求物体的高度或宽度，等等．
如图22－3－8，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3CM，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝28 m，求AB的长．
小林给出如下的解法：
解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，
∴＝.
又∵AM＝3CM，∴＝CMMNAMABMN281
＝，
ABAB3
解得AB＝84 m．故AB的长为84 m.
你认为小林的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
图22－3－8
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教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上AC即可求得树高AB. 解：根据题意，可知∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB， BCDCBC8
∴＝，即＝，解得BC＝4， FEDE0.30.6
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(米)． 故树高AB为5.5米．
例2 [解析] 直接利用相似三角形的应用模型，正确得出△ABC∽△ADE，进而得出比例式求出答案．
解：由题意可得△ABC∽△ADE，
ABBCAB60则＝，即＝，解得AB＝90 m. ADDEAB＋4590答：河的宽度AB为90 m. 【总结反思】
[反思] 不正确．正确的解答过程如下： CMMN
∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴＝. CAABCM1
又∵AM＝3CM，∴＝，
AM3CM1MN1∴＝，则＝， CA4AB4∴AB＝4MN＝4×28＝112(m)．
m
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2019九年级数学上册 第22章 相似形 第2课时 相似三角形的应用同步练习 沪科版
