第三章 刚体的定轴转动
3-1掷铁饼运动员手持铁饼转动1.25圈后松手，此刻铁饼的速度值达到v?25m?s。设转动时铁饼沿半径为R=1.0 m的圆周运动并且均匀加速。求: (1)铁饼离手时的角速度; (2)铁饼的角加速度;
(3)铁饼在手中加速的时间(把铁饼视为质点)。
解：（1）铁饼离手时的角速度为
?1??v/R?25/1.0?25(rad/s)
（2）铁饼的角加速度为
?2252????39.8(rad/s2)
2?2?2??1.25（3）铁饼在手中加速的时间为
t?2???2?2??1.25?0.628(s)
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?13-2一汽车发动机的转速在7.0s内由200r?min均匀地增加到300r?min?1。
(1)求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度; (2)求这段时间内转过的角度和圈数;
(3)发动机轴上装有一半径为r=0.2m的飞轮，求它的边缘上一点在第7.0s末的切向加速度、法向加速度和总加速度。
解：（1）初角速度为
?0?2??200/60?20.9(rad/s)
末角速度为
??2??3000/60?314(rad/s)
角加速度为
??（2）转过的角度为
???0t?314?20.9?41.9(rad/s2)
7.0???0??2t?20.9?314?7?1.17?103rad?186(圈) 2 24
（3）切向加速度为
at??R?41.9?0.2?8.38(m/s2)
法向加速度为
an??2R?3142?0.2?1.97?104(m/s2)
总加速度为
2a?at2?an?8.372?(1.97?104)2?1.97?104(m/s2)
总加速度与切向的夹角为
an1.97?104??arctan?arctan?89?59?
at8.37
3-3 如图所示，在边长为a的六边形顶点上分别固定有质量都是m的6个小球(小球的直径d??a)。试求此系统绕下列转轴的转动惯量。 (1)设转轴Ⅰ，Ⅱ在小球所在平面内; (2)设转轴过A并垂直于小球所在平面。
解：（1）对轴I的转动惯量
J1?2m[(acos60?)2?(a?acos60?)2]?m(a?2acos60?)2?9ma2
对轴II的转动惯量
J2?4m(asin60?)2?3ma2
（2）对垂轴的转动惯量
J3?2ma2?2m(2acos30?)2?m(2a)2?12ma2
3-4如图有一根长为l，质量为m的匀质细杆，两端各牢固地连结一个质量为m的小球，整个系统可绕一过O点，并垂直于杆长的水平轴无摩擦地转动，当系统在水平位置时，试求:(1)系统所受的合外力矩;(2)系统对O轴的转动惯量;(3)系统的角加速度。 解：（1）设垂直纸面向里的方向为正，反之为负，则该系统对O点的力矩为
3331113M0?mgl?mg?l?mg?l?mg?l?mgl
4484484（2）系统对O点的总转动惯量等于各部分对O点的转动惯之和，即
J0?J1?J2?J3?J4l1ml13m3l3l?m()2?()()2?()()2?m()2
43443444372?ml48
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（3）由转动定律 M?J? 可得
3mglM036g4 ????37J037lml248
3-5一转轮以角速度?0转动，由于轴承的摩擦力的作用，第一秒末的角速度为0.8?0，(1)若摩擦力矩恒定，求第二秒末的角速度;(2)若摩擦力矩与角速度成正比，求第二秒末的角速度。
解：（1）摩擦力矩恒定，则转轮作匀角加速度运动，故角加速度为
??第二秒末的角速度为
?1??0?t?(0.8-1)?0??0.2?0
?2??0??t??0?0.2?0?2?0.6?0
（2）设摩擦力矩Mr与角速度?的比例系数为?，据题设可知
Mr???,即tJd???? dt???0d?????J0dtln???t ?0J据题设t?1s时，?1?0.8?0，故可得比例系数
??Jln0.8
由此t?2s时，转轮的角速度?2为
ln?2?2ln0.8 ?0?
?2?0.82?0?0.64?0
3-6如图所示，飞轮的质量为60kg，直径为0.5m，飞轮的质量可看成全部分布在轮外缘上，转速为100r?min?1，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数??0.4，现要求在5s内使其制动，
求制动力F(尺寸如习题3一6图所示)。
解： 设飞轮与闸瓦间的压力为N，如图示，则二者间摩擦力fr??N，此摩擦力形成阻力矩
frR，由转动定律
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frR?J?
其中飞轮的转动惯量J?mR，角加速度??2???0t??2?n，故得 52fr???mnR52????60?(1000/60)?0.25
5?-314(N)见图所示，由制动杆的平衡条件可得
习题3-6图
F(l1?l2)?N? l1=0
?N??Nfr
?得制动力
F?
frl1314?0.5??314(N)
?(l1?l2)0.4(0.5?0.75)3-7如习题3-7图所示，两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2，二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可绕水平中心轴自由转动，今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量为m1和m2的两个物体，求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。 解： 如图所示，由牛顿第二定律 对m1:T1?m1g?m1a1 对m2:m2g?T2?m2a2 对整个轮，由转动定律
1?12?T2R2?T1R1??M1R12?M2R2?? 2?2?又由运动学关系 联立解以上诸式，即可得
???1/R1??2/R2
(m2R2?m1R1)g 22(M1/2?m1)R1?(M2/2?m2)R2
习题3-7图
??3-8一根均匀米尺，在60cm刻度处被钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动，先用手使
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米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺转到竖直位置时的角速度各是多大?
解：设米尺的总量为m，则直尺对悬点的转动惯量为
(a) (b)
112I?m1l12?m2l2331212??m?0.42??m?0.62 35351.4?m15?0.093mM?331221mg???mg???0.1mg 5525521.4I?m 又M?I?15???M0.1mg?15??10.5(rads?2) I1.4mmghc?从水平位置摆到竖直位置的过程中机械能守恒（以水平位置为O势能点）
1J?2 211.4m?2 即 mg?0.1??21.5???21
3-9如习题3-9图所示，质量为m的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，定滑轮质量M=2m，半径为R，转轴光滑，设t=0时v=0，求：(1)物体的下落速度v与时间t的关系；(2)t=4s时m下落的距离;(3)绳中的张力T。
解： m视为质点，M视为刚体（匀质圆盘）。作受力分析（如图所示）
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大学物理第3章习题解答
