二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知二项式(ax＋1)展开式的各项系数和为128，(ax＋1)＝a0＋a1(ax＋3)＋a2(ax＋3)＋…＋a7(ax＋3)，则a4＝________．
14．已知在△DEF中，DE＝2，EF＝3，∠DEF＝60°，M是DF的中点，N在EF上，且DN⊥ME，→→
则DN·DF＝________．
15．已知直线2x＋y－2＝0与x轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C的焦点F，P是抛物线C上一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆截x轴所得的弦长为2，则圆P的方程为________________．
16．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2
n
n－1
7
7
7
2
，则{an}的前40项和为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． bsin C－sin B－sin Acos B
17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，＝.
csin Acos C－sin B(1)求角A的大小；
4S△ABC
(2)若a＝2，△ABC是锐角三角形，求＋3c的取值范围．
c
18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：
五十岁以上(含五十岁) 五十岁以下(不含五十岁) 总计 不喜爱 10 c 52 喜爱 b 4 16 总计 22 46 68 (1)求2×2列联表中b，c的值，并判断是否有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关？ (2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：
P(K≥k0) k0 220.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 n（ad－bc）公式： K＝(n＝a＋b＋c＋d)．
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
19．(本小题满分12分)在如图2-5所示的四棱锥P - ABCD中，△PAB是边长为4的正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，BC＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点． (1)求证：BE⊥PC；
(2)求二面角A-PD-C的正弦值．
图2-5
3xy
20．(本小题满分12分)已知A，B分别是离心率为的椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点与右顶
2ab25－15
点，右焦点F2到直线AB的距离为.
5(1)求椭圆E的方程；
(2)过M(0，2)作直线l交椭圆E于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ的面积的最大值．
21．(本小题满分12分)函数f(x)＝a(x－1)ln(x－1)＋(bx＋1)(x－1)＋a＋1(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋1＝0，求实数a，b的值； (2)已知b＝1，当x>2时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．
2
2
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l过点π?3?
θ＋(1，1)，倾斜角α的正切值为－，曲线C的极坐标方程为ρ＝42sin??.
4?4?(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.
(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．
参考答案·数学(理科)
高考原创押题卷（二）
1．D [解析] 由题知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，∴?UA＝{0，4，5}，∴(?UA)∪B＝{0，2，4，5}，故选D.
2．B [解析] 由题知，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，－2，所以z(1－i)1＋2i（1＋2i）（1＋i）1313
＝－1－2i，所以z＝－＝－＝－i，故复数z的共轭复数为＋i，故选
1－i（1－i）（1＋i）2222B.
3．C [解析] 由题知a＝2m－2，b＝m，c＝5，所以c＝2m－2＋m＝25，解得m＝9，所以a3
＝4，b＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.
4
9（a1＋a9）
4．B [解析] 设公差为d，由题知126＝S9＝＝9a5，解得a5＝14，由2a7＝a4＋a10＝40，
2a7－a53212Sn＋30?10?
得a7＝20，所以d＝＝3，所以a1＝a5－4d＝2，所以Sn＝n＋n，所以＝3?n＋?＋
n?222n?102Sn＋30
1.令y＝x＋，该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n＝3时，xn2Sn＋30412Sn＋30
＝20，当n＝4时，＝，故的最小值为20，故选B.
n2n
5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2122
的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×3×6＋×3.1×3×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约
3
2
2
2
2020-2021学年高考(全国卷)原创押题卷(二)数学理科试题及答案解析
