数量关系特殊点推算法
平面几何中一种数量关系的推算方法
（北京156中学初二6班孙天贝）
在平面几何考试题中经常出现需要自己猜测两个（或多个）线段（或夹角）之间的数量关系并加以证明的题目。其中有些题目中的相关数量关系比较简单，比如某个量是另外两个量的和、某个量是另外一个量的两倍等，这种情况一般通过观察或用尺子量一下就能猜个八九不离十。而有些题目中推测数量关系却不是那么容易，其结果就是造成了后续的证明工作无从下手。针对这个问题，本文提出了一种利用特殊点进行数量关系推算的方法，实践证明这个方法在很多题目中都可适用。哪怕我们完不成最后的证明，但起码“猜测分”能轻松拿下。下面让我们看一个考试真题。
[题目]：
在正方形ABCD中,点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于N点，连接CN，
（1）如图1，当点M在BC边上时，如果∠CDM=25°,那么∠MBN的度数是 。
（2）如图2，当点M在BC的延长线上时， ①依题意补全图2；
②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明。
该题目中的第 (2)--②小题中涉及到了数量关系推测：“当点M在BC的延长线上时，用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系。” 下面我们试着用特殊点推算法求出这个表达式。见图3，当点M在BC的延长线上移动时，C和F点是两个特殊点，这里设FC=BC。
图3 分两种情况讨论。
第一种情况：当点M位于点C与点F之间（且不与点C或点F重合）时，垂足N位于正方形ABCD的上方，并且M在C- F开区间内移动时图形形拓扑关系不会发生改变。并且当点M无限趋近C、F
点时，线段NB、NC和ND的长度不会发生突变，所以这两个特殊点是可以利用的。一般情况下平面几何中的线段之间如果有关系的话，应该为线性关系。因此根据题意可设NB、NC和ND之间的关系为： m×NB + n×NC + k×ND + w = 0 其中w为常数项;但是因为正方形ABCD边长是任意值,式中各项应同步成比例扩大或缩小，故常数w只能为0；即： m×NB + n×NC + k×ND = 0 ① 当点M移动到C点时，点N与点C重合，这时： NC=0；
NB=ND=L；（L为正方形ABCD的边长） 将其带入①式：
m×L + n×0 + k×L = 0； 得到： k/m = -1 。
带入①式并进行整理：NB = ND -（n/m）NC ②
当点M移动到F点时，点N与点D重合，这时： ND=0；NC=L； NB =√2 L； 将其带入①式：
m×√2 L + n×L + k×0 = 0； 得到： n/m = - √2 带入②式得到NB、NC及ND三者的关系为：
平面几何中数量关系推测方法研究
