圆
知识点一、圆的概念及有关概念
[来源:]
一、圆的概念:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
二、有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部份叫做圆弧,简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦,通过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。
在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,那么通过P点的最短弦长为________;?最长弦长为_______.
解题思路:圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP垂直的弦,答案:知识点二、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时,d>r;反过来,当d>r时,点在圆外。当点在圆上时,d=r;反过来,当d=r时,点在圆上。当点在圆内时,d<r;反过来,当d<r时,点在圆内。
例 如图,在Rt△ABC中,直角边AB?3,BC?4,点E,F别离是BC,AC的中点,以点A为圆心,AB的长为半径画圆,那么点E在圆A的_________,点F在圆A的_________.
解题思路:利用点与圆的位置关系,
,?4).试判定点练习:在直角坐标平面内,圆O的半径为5,圆心O的坐标为(?1P(3,?1)与圆O的位置关系.
答案:
知识点三、圆的大体性质
1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
二、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,而且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性,专门的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
圆心角定理:在同圆或等圆中,若是两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都别离相等。
[来源:]4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
例1 如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,那么弦AB的长是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
例二、如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°,那么∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
例.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小
有什么关系?什么缘故?
AODCB知识点四、圆与三角形的关系
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一、不在同一条直线上的三个点确信一个圆。
二、三角形的外接圆:通过三角形三个极点的圆。
3、三角形的外心:三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆:与三角形的三边都相切的圆。
五、三角形的内心:三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。
例1 如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,A、B、C?为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,?要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问若是你是工程师,你将如何选址.
AC
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B
例2 如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,假设∠BAC=80°,
则∠BOC=( )
A.130° B.100° C.50° D.65°
例3 如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,那么它的外心与极点C的距离为( ).
A
A.5 cm B. C.3cm D.4cm
解题思路:直角三角形外心的位置是( )
BC知识点五、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离
[来源:]当直线和圆相交时,d<r;反过来,当d<r时,直线和圆相交。当直线和圆相切时,d=r;反过来,当d=r时,直线和圆相切。当直线和圆相离时,d>r;反过来,当d>r时,直线和圆相离。切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理:通过直径的一端,而且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长:在通过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这点的连
线平分两条切线的夹角。
[考试]圆知识点经典温习及习题
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