高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳
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要点归纳
1．直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tan α.α为直线的倾斜角，代入上式得，
x－x0y－y0sin απ
y－y0＝(x－x0)，α≠，即＝.
cos α2cos αsin α
??x＝x0＋tcos α，
记上式的比值为t，整理后得?
?y＝y0＋tsin α.?
2．圆的参数方程
??x＝x0＋rcos θ
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为?，0≤θ≤2π.
?y＝y0＋rsin θ?
3．椭圆的参数方程
?x－x0?2?y－y0?2
若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆＋＝1的参数方
a2b2
??x＝x0＋acos t程为?，
?y＝y0＋bsin t?
0≤t<2π.
??x＝asec θ，x2y2
4．双曲线2－2＝1的参数方程是?
ab?y＝btan θ，?
5．抛物线y2＝2px
2??x＝2pt，
的参数方程是?
??y＝2pt.
专题一 参数方程化为普通方程的考查
参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为
?x＝2cos θ?x＝t
(t为参数)和?(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________． ?y＝t??y＝2sin θ
?(2)将参数方程?1
y＝t＋?t
2
1x＝t＋，
t
2
(t为参数)，化为普通方程为________．
解析 (1)把C2的方程化成普通方程为x2＋y2＝2，∴t2＋(t)2＝2，∴t＝1或t＝－2(舍)，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
1111
(2)由x＝t＋得，x2＝t2＋2＋2，又y＝t2＋2，∴x2＝y＋2.∵t2＋2≥2，∴y≥2.
tttt
答案 (1)(1,1) (2)x2－y＝2(y≥2)
专题二 圆的参数方程及其应用
??x＝x0＋rcos θ，
圆的参数方程?(θ为参数)表示中心在(x0，y0)，半径为r的圆的参数方
??y＝y0＋rsin θ
程，是近几年高考的热点和重点．
π
θ－?＋6＝0. 【例2】 (2013·福建五校联考)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos??4?(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
π
θ－?＋6＝0得， 解 (1)由ρ2－42ρcos??4?
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2， 令x－2＝2cos α，y－2＝2sin α，
?x＝2＋2cos α，
得圆的参数方程为?(α为参数)．
?y＝2＋2sin α
(2)由上述可知，
π
α＋?，故x＋y的最大值为6，最小值为2. x＋y＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin??4?
专题三 关于直线参数方程的应用
??x＝x0＋tcos α，
1．利用直线的参数方程? (α为参数)中参数的几何意义，在解决直线
y＝y＋tsin α?0?
与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．
4
【例3】 已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，
3
设线段AB的中点为M，求：
(1)P、M两点间的距离|PM|； (2)线段AB的长|AB|.
4
解 (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，
3443
设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，
3553x＝2＋t，
5
∴直线l的参数方程为(t为参数)(*)
4y＝t5
???
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，
1525
由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，
84
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
t1＋t2?15
|PM|＝??2?＝16.
5
(2)|AB|＝|t2－t1|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝73. 8
专题四 圆锥曲线的参数方程及其应用
??x＝acos φ，x2y2
(1)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个参数方程为?(φ为参数)；
aby＝bsin φ
??
a??x＝cos φ，
(2)双曲线2－2＝1的参数方程为?(φ为参数)；
ab
??y＝btan φ
x2
y2
?x＝2pt2，?
(3)抛物线y2＝2px的参数方程为?(t为参数)．
??y＝2pt
【例4】 设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．
解 法一 令x＋2y＝t，且x，y满足4x2＋9y2＝36，
22??4x＋9y＝36
故点(x，y)是方程组?的公共解．
?x＋2y＝t?
消去x得，25y2－16ty＋4t2－36＝0，
由Δ＝(－16t)2－4×25×(4t2－36)≥0，即t2≤25， 解得－5≤t≤5，
∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5.
x2y2
22法二 由椭圆方程4x＋9y＝36，得＋＝1，
94
设x＝3cos θ，y＝2sin θ，代入x＋2y得 x＋2y＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，
3
其中，tan φ＝，φ角的终边过点(4,3)．
4
由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5.
43
当sin θ＝，cos θ＝时，(x＋2y)max＝5；
5543
当sin θ＝－，cos θ＝－时，(x＋2y)min＝－5.
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