系统的能控性、能观测性、稳定性分析

实 验 报 告

课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 姓名 学号 同组人

实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分

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一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal； （b）已知连续系统的传递函数模型，

当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

，

（c）已知系统矩阵为

，判别系统的能控性与能观测性；

（d）求系统（2）稳定性

（a）代数法稳定性判据

已知单位反馈系统的开环传递函数为：试对系统闭环判别其稳定性 （b）根轨迹法判断系统稳定性

已知一个单位负反馈系统开环传递函数为

的最小实现。

，，

，

，试在系统的闭环根轨迹图上选择

一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。

三、实验环境 1、计算机120台； 2、MATLAB6.X软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。 状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出能控性判别式为：

（2-1）

状态能控性判别式为：

（2-2）

系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,

如果对t0时刻存在ta，t0

能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。

状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

（2-3）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。 五、程序源代码

1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；

gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵 num=[6 -0.6 -0.12];

den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125]; H=tf(num,den,'Ts',0.1) Lc=gram(ss(H),'c')

H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12 ------------------------------------- z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125

Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000 7.8769 10.7651 7.8769 1.8379 3.6759 7.8769 10.7651 3.9385 -0.0000 1.8379 3.9385 2.6913 Ctrb：计算矩阵可控性

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4]; Tc=ctrb(A,B); rank(Tc)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000 0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000 0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000 1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000 ans = 3

Obsv:计算可观察性矩阵

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4]; C=[1 2 3 4]; Qo=obsv(A,C); Ro=rank(Qo)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000 0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000