基于LQR控制的主动悬架优化设计
摘要：根据汽车行驶性能的要求，本文以1/4车辆模型为例，建立汽车的动力
学模型，利用线性二次最优控制理论对主动悬架的LQG控制器进行设计，并运用MATLAB/simulink对汽车动力学模型进行仿真。结果表明: 具有 LQG 控制器的主动悬架对车辆行驶 平稳性和乘坐舒适性的改善有良好效果。 关键词：主动悬架；被动悬架；LQG控制器 引言
悬架系统是汽车的重要部件, 对于汽车的平顺性、操稳性和 安全性都有着重要的影响, 而主动悬架是悬架发展的必然方向。控制器的设计对于主动悬架性能的发挥起着重要的作用, 本文中以1/4汽车主动悬架为研究对象,建立汽车动力学模型和设计LQG控制器算法,应用Matlab/Simulink进行汽车系统的控制仿真。
1 基于线性二自由度汽车模型的建立 1.1 被动悬架系统的建立
车辆悬架系统是一个多输入多数徐彤，为了研究的方便性以及更好地与车辆行驶的情况相吻合，文本一1/4车辆模型为研究对象，车辆模型如图1所示。
图1：被动悬架车辆1/4模型
根据图1所示，建立一个被动悬架车辆1/4模型，首先建立运动微分方程：
??mbxb??Ks(xb?xw)?Cs(xb?xw)???mwxw??Kt(xw?xg)?Ks(xb?xw)?Cs(xb?xw)
整理得：
?Cs?Cs?Ks?Ks???x?xb?x?x?xbwb?bmbmbmbmb? （1） ??Cs?Cs?Ks?Ks?KtK???w?xxb?xb?xb?xb?txg?mwmwmwmwmw?式中：Cs为悬架阻尼，Ks为悬架刚度。 选取状态变量和输入向量为：
?bX??x?wxxbxw? U?xg
则可将系统运动方程及路面激励写成状态空间矩阵形式，即：
??AX?BU X其中，A 为状态矩阵，B为输入矩阵，其值如下：
?Cs??mb?Cs?A??mw?1???0CsmbC?smw01?KsmbKsmw00Ks??0??mb?Kt???Ks?Ks??? B?mw
???mw0???0???0??0??将车身加速度、轮胎动变形、悬架动行程作为性能指标，即：
Y?[xbxw?xgxb?xw]T
将性能指标项写为状态变量以及输入信号的线性组合形式，即：
Y?CX?DU
其中：
?CsCsKsKs???mm?mm?bb?bb?C??0001?
?001?1?????1.2 被动悬架系统的建立
如图2所示，
?0??D???1?? ??0??
图2：被动悬架车辆1/4模型
根据图2所示，建立一个主动悬架车辆1/4模型，首先建立运动微分方程：
????mwxw?Ks(xb?xw)?Kt(xg?xw)?Ug （3） ????mbxb??Ks(xb?xw)?Ug?此时矩阵状态矩阵为：
??0?A??0??1???00?001KsmbKsmw00Ks????0mb???Kt?Ks?Kt B???mwmw???00??0????01?mb???1? mw?0??0??Ks?00??mb?C??000?001??Ks?1??0?mb?mb????1? D???10?
?0?1?0???????1.3 路面模型的建立
在分析主动悬架控制过程时，路面输入是一个不可忽略的重要因素，本文利用白噪声信号为路面输入激励，
xg(t)??2?f0xg(t)?2?G0U0w(t)
其中，f0为下截止频率，Hz；G0为路面不平度系数，m3/cycle；U0为前进车速，m/sec；w为均值为零的随机输入单位白噪声。上式表明，路面位移可以表
?示为一随机滤波白噪声信号。这种表示方式来源于试验所测得的路面不平度功率谱密度（PSD）曲线的形状。我们可以将路面输入以状态方程的形式加到模型中：
???Xroad?AroadX?FroadW ???Yroad?CroadXXroad?xg,Aroad??2?f0,Broad?2?G0U0,Croad?1；D=0；考虑路面为普通路面，路面不平系数G0=5e-6m3/cycle；车速U0=20m/s；建模中，路面随机白噪声可以用随机数产生（Random Number）或者有限带宽白噪声（Band-Limited White Noise）来生成。本文噪声已经由TIN4文件已经给出，运用MATLAB/simulink建立仿真模型如下：
图3： 路面模型
2 性能指标的确定
LQG控制设计中的目标性能指数J即车身加速度、悬架动行程和位移的加权平方和的积分值，表示如下：
J?limT????21T22[q1(xw?xg)?q2(xb?xw)?q3xb]dt T?0为了据此求解状态反馈增益，必须用状态变量以及输入变量来表示上式：
J?limT??1TTTTXQX?URU?2XNU]dt ?0T其中 Q：对应于状态变量的权重矩阵；R：约束输入信号大小的权重矩阵； N：耦合项。
对于q1，q2，q3表达的性能函数，可以整理为：
J?limT????21T22[q1(xw?xg)?q2(xb?xw)?q3xb]dt T?0?limT??1T??[xb?0Txw?xg?????xb?xb?xw]Q0?xw?xg?dt
??x?x?bw???其中
?q3Q0???0??00q100?0?? q2??由于
Y?CX?DU
所以
YTQ0Y?(CX?DU)TQ0(CX?DU)Q NR????????????XTCTQ0CX?UTDTQ0DU?XTCTQ0DU?UTDTQ0CX式中q1，q2，q3分别为轮胎位移，悬架动行程，车身垂直加速度的加权系数。因此可以求出Q、R、N：
?0?0??0TQ?CQ0C????0???0002KS0q2?2mb2KS0?q2?2mb00002KS?q2?2mb2KSq1?q2?2mb?q1000?0??0??； ??q1??q1???0??0???1TT；N?CQ0D??Ks?； R?DQ0D?mb??Ks????0??利用MATLAB函数LQR来计算状态反馈K：
[KSE]?lqr(A,B,Q,R,N)
其中，K为最优状态反馈矩阵；S为Riccati方程解；E为系统特征值。因此可以得到主动控制力U=-KX。
基于LQR控制的主动悬架优化设计
