虚设零点法 培优练习
1、设函数f(x)?e
2x?alnx.
（Ⅰ）讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数； （Ⅱ）证明：当a?0时，f(x)?2a?aln2。 a
2、已知函数f(x)=e-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0 解析：
x
1
3、设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值
2
4、已知函数f（x）=x?3x?ax?2，曲线y?f(x)在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
（I） 求a；
【答案】 （1）
32
（II）证明：当时，曲线y?f(x)与直线y?kx?2只有一个交点。
?f(x)=x3-3x2+ax+2∴f′(x)=3x2-6x+a，f′(0)=a设切点A(0,2)，切线与x轴交点为B(-2,0),则kAB=f′(0),即所以,a=1(2)
2-0=a(2) 0+2 3
4当k<1时，令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0.则x2-3x+1+=k,x≠0x442x3-3x2-42令g(x)=x-3x+1+.则g′(x)=2x-3-2=.xxx2令h(x)=2x3-3x2-4，则h′(x)=6x2-6x=6x(x-1)∴当x∈(0,1)时，h′(x)<0,h(x)递减. 当x∈(-∞，0)，或(1，+∞)时，h′(x)>0,h(x)递增；且h(0)<0,h(2)=0.∴ 当x<2时，h(x)<0,g′(x)<0,g(x)在(-∞，0),(0,2)上递减； 当x>2时，h(x)>0,g′(x)>0,g(x)在(0，+∞)上递增；∴ 当x∈(0,2)∪(0，+∞)时，g(x)≥g(2)=1 当x∈(-∞，0)时，单调递减，且g(x)∈(-∞,+∞)∴当k<1时，g(x)=k仅有一个根点,图像如图所示所以,当k<1时，y=f(x)与y=kx-2仅有一个交点
25、设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2
（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性；
4
（II）证明：f?x2??1?2In2 4a2x2?2x?a?(x??1) 解: （I）f??x??2x?1?x1?x12 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的不
2???4?8a?01相等的实根，其充要条件为?，得0?a?
2?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，a??(2x22+2x2) 212?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，
22则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?,0)时，h??x??0,?h(x)在[?121,0)单调递增； 2⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
111?2ln2 ?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?224
6、(Ⅰ)讨论函数f(x)?x?2xe的单调性，并证明当x?0时，(x?2)ex?x?2?0； x?2ex?ax?agx）=(x?0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数(Ⅱ)证明：当a?[0,1)时，函数（x2h(a)的值域．
试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,?2)?(?2,??).
(x?1)(x?2)ex?(x?2)exx2exf'(x)???0, 22(x?2)(x?2)且仅当x?0时，f'(x)?0，所以f(x)在(??,?2),(?2,??)单调递增，
因此当x?(0,??)时，f(x)?f(0)??1, 所以(x?2)e??(x?2),(x?2)e?x?2?0
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虚设零点法 培优练习(含解析)
