n次独立重复试验与二项分布
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一、选择题
5
1.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=9,则P(Y≥2)的值为( )
32116516A.81 B.27 C.81 D.81
B [因为随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),又P(X≥1)=1-P(X=0)=11?51?
-(1-p)2=9,解得p=3,所以Y~B?4,3?,则P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)
??11
=27.]
2.(2019·咸阳二模)已知甲,乙,丙三人去参加某公司面试,他们被该公司111
录取的概率分别是6,4,3,且三人录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )
3172515A.72 B.12 C.72 D.72
1115
B [甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1=(1-6)×(1-4)×(1-3)=12,7
所以三人中至少有一人被录取的概率为P=1-P1=12,故选B.]
3.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
231854A.5 B.5 C.125 D.125
D [袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每323?32???次取到黄球的概率P1=5,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=C3?5??1-5?=????
8
54125.]
4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 C.0.6
B.0.75 D.0.45
A [已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前0.6
提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P=0.75=0.8.]
11
5.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为2和3,甲、乙两人各射击11
一次,有下列说法:①目标恰好被命中一次的概率为2+3;②目标恰好被命中两111211
次的概率为2×3;③目标被命中的概率为2×3+2×3;④目标被命中的概率为112
-2×3,以上说法正确的是( )
A.②③ B.①②③ C.②④ D.①③
12111
C [对于说法①,目标恰好被命中一次的概率为2×3+2×3=2,所以①错1211
误,结合选项可知,排除B、D;对于说法③,目标被命中的概率为2×3+2×311
+2×3,所以③错误,排除A.故选C.]
二、填空题
133
6.(2019·眉山模拟)三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为2,4,4,将T2,T3两个元件并联后再和T1串联接入电路,如图所示,则电路不发生故障的概率为________.
8
15133 [三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将T2,T3两个32244元件并联后再和T1串联接入电路,如图所示,则电路不发生故障的概率为:
113313315p=2×(4×4+4×4+4×4)=32.
]
7.如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________.
1
2 [设女孩个数为X,女孩多于男孩的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)?=C23?
1?21311113???× +C3??=3× +=.] 2882?2??2?
8.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=________.
1
[依题意,随机试验共有9个不同的基本结果. 4
由于随机投掷,且小正方形的面积大小相等,
所以事件B包含4个基本结果,事件AB包含1个基本结果. 41
所以P(B)=9,P(AB)=9. 1
P(AB)91
所以P(A|B)==4=4.]
P(B)
9三、解答题
2
9.设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为3.8
若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率; (2)求他所耗用的子弹数X的分布列.
[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k=1,2,3,4,5),则A1,A2,A3,
21
A4,A5相互独立,且P(Ak)=3,P(Ak)=3.
(1)法一:他前两发子弹只命中一发的概率为
21124
P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=3×3+3×3=9. 法二:由独立重复试验的概率计算公式知,他前两发子弹只命中一发的概率
1214为P=C2×3×3=9.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
22115P(X=2)=P(A1A2)+P(A1 A2)=3×3+3×3=9,
2?1?1?2?2
P(X=3)=P(A1A2 A3)+P(A1A2A3)=3×?3?2+3×?3?2=9,
????
?2?31?1?3210
P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3 A4)=?3?×3+?3?×3=81,
????8
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=81. 综上,X的分布列为
X 2 P 59 3 29 4 1081 5 881 10.空气质量指数(AirQuality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染.
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为:45,50,75,74,93,90,117,118,199,215.
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数; (2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列.
[解] (1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,
8
63
∴该样本中空气质量为优良的频率为10=5,
3
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×5=18. 3
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为5, 3??3,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B?. 5???8?2?3
∴P(ξ=0)=?5?=125,
??
1??P(ξ=1)=C3
3??2?236???=
125, ?5??5?
3?2?2?54
???=, ?5??5?125
2??P(ξ=2)=C3
?3?327
P(ξ=3)=?5?=125,
??ξ的分布列为
ξ P 0 8125 1 36125 2 54125
1.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )
1C35C4A.C4
5
3 27125 ?5?34B.?9?×9 ???
D.C14×?
5?34
?×
9?9?
31
C.5×4
B [由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次?5?34取的球是白球的情况,此事件发生的概率为?9?×9.] ??
2.甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( )
8
课后限时集训70 n次独立重复试验与二项分布
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