n次独立重复试验与二项分布
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一、选择题
5
1．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝9，则P(Y≥2)的值为( )
32116516A.81 B.27 C.81 D.81
B [因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝11?51?
－(1－p)2＝9，解得p＝3，所以Y～B?4，3?，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
??11
＝27.]
2．(2019·咸阳二模)已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司111
录取的概率分别是6，4，3，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )
3172515A.72 B.12 C.72 D.72
1115
B [甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1＝(1－6)×(1－4)×(1－3)＝12，7
所以三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－P1＝12，故选B.]
3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
231854A.5 B.5 C.125 D.125
D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每323?32???次取到黄球的概率P1＝5，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C3?5??1－5?＝????
8
54125.]
4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 C．0.6
B．0.75 D．0.45
A [已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前0.6
提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝0.75＝0.8.]
11
5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为2和3，甲、乙两人各射击11
一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为2＋3；②目标恰好被命中两111211
次的概率为2×3；③目标被命中的概率为2×3＋2×3；④目标被命中的概率为112
－2×3，以上说法正确的是( )
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①③
12111
C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为2×3＋2×3＝2，所以①错1211
误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为2×3＋2×311
＋2×3，所以③错误，排除A.故选C.]
二、填空题
133
6．(2019·眉山模拟)三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为2，4，4，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．
8
15133 [三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个32244元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为：
113313315p＝2×(4×4＋4×4＋4×4)＝32.
]
7．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________．
1
2 [设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)?＝C23?
1?21311113???× ＋C3??＝3× ＋＝.] 2882?2??2?
8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________．
1
[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果． 4
由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，
所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果． 41
所以P(B)＝9，P(AB)＝9. 1
P（AB）91
所以P(A|B)＝＝4＝4.]
P（B）
9三、解答题
2
9．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为3.8
若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X的分布列．
[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，
21
A4，A5相互独立，且P(Ak)＝3，P(Ak)＝3.
(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为
21124
P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝3×3＋3×3＝9. 法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率
1214为P＝C2×3×3＝9.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
22115P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1 A2)＝3×3＋3×3＝9，
2?1?1?2?2
P(X＝3)＝P(A1A2 A3)＋P(A1A2A3)＝3×?3?2＋3×?3?2＝9，
????
?2?31?1?3210
P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3 A4)＝?3?×3＋?3?×3＝81，
????8
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝81. 综上，X的分布列为
X 2 P 59 3 29 4 1081 5 881 10.空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为：45，50，75，74，93，90，117，118，199，215.
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数； (2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．
[解] (1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，
8
63
∴该样本中空气质量为优良的频率为10＝5，
3
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×5＝18. 3
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为5， 3??3，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B?. 5???8?2?3
∴P(ξ＝0)＝?5?＝125，
??
1??P(ξ＝1)＝C3
3??2?236???＝
125， ?5??5?
3?2?2?54
???＝， ?5??5?125
2??P(ξ＝2)＝C3
?3?327
P(ξ＝3)＝?5?＝125，
??ξ的分布列为
ξ P 0 8125 1 36125 2 54125
1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
1C35C4A．C4
5
3 27125 ?5?34B．?9?×9 ???
D．C14×?
5?34
?×
9?9?
31
C．5×4
B [由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次?5?34取的球是白球的情况，此事件发生的概率为?9?×9.] ??
2．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )
8
课后限时集训70 n次独立重复试验与二项分布
