第二课时 排列的应用
无限制条件的排列问题
[例] 由数字可组成多少个无重复数字的正整数？
[思路点拨] 可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和． [精解详析] 第一类：组成一位数有＝个； 第二类：组成二位数有＝个； 第三类：组成三位数有＝个； 第四类：组成四位数有＝个．
根据加法原理，一共可以组成＋＋＋＝个正整数．
[一点通] 对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．
．从种蔬菜品种中选种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
解：从种蔬菜品种中选种，分别种在块不同土质上，对应于从个元素中取出个元素的排列数．因此不同的种植方法数为＝××＝.
故共有种不同的种植方法．
．()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？
()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？
解：()将个招聘雇员的公司看作个不同的位置，从中任选个位置给名大学毕业生，则本题即为从个不同元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有＝××＝种．
()将名大学毕业生看作个不同的位置，从中任选个位置给个招聘雇员的公司，则本题仍为从个不同的元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有＝××＝种.
[例] 名同学站成一排． 元素“在”与“不在”型排列问题 ()其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ ()甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ ()甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．
[精解详析] ()先考虑甲站在中间有种方法，再在余下的个位置排另外 名同学，共有＝×××××＝种排法．
()先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的个位置排另外名同学的排法有种，共有＝×××××＝种排法．
()法一：先考虑在除两端外的个位置选个安排甲、乙有种，再在余下的个位置排另外位同学的排法有种，共有＝××××××＝ 种排法．
法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有种，中间个位置有种，共有＝ 种排法． [一点通] ()“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
()从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
．电视台连续播放个广告，其中含个不同的产品广告和个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有( )
．种 ．种 ．种
．种
解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间个位置，则＝＝×＝. 答案：
．用这个数字，可以排成个无重复数字的位数．
解析：组成位数，相当于将个元素排在三个位置，但不能在首位，首位的排法有，而其余两位排法有，由分步乘法原理知，共有＝种排法．
答案：
．由这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于万，又不是的倍数的数有多少个？ 解：法一：因为首位和个位上不能排和，所以先从中任选个排在首位和个位，有种排法，再排中间位数有种排法，由分步乘法计数原理，共有·＝×＝个符合要求．
法二：六个数位的全排列共有个，其中有排在首位或个位上的有2A个，还有排在首位
或个位上的也有2A个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含和分别在首位或个位上的排法2A种，所以有－4A＋2A＝个符合要求.
元素“相邻”与“不相邻”型排列问题 [例] (分)喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影．(排成一排)
()要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？ ()要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？
[思路点拨] 相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法． [精解详析] ()把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有＝种排法．
分)
()第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有种排法，共有＝种排法．
分)
[一点通] ()相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．
()不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列．
．(重庆高考)某次联欢会要安排个歌舞类节目、个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
． ．
． ．
解析：依题意，先仅考虑个歌舞类节目互不相邻的排法种数为＝，其中个歌舞类节目互不相邻但个小品类节目相邻的排法种数为＝，因此满足题意的排法种数为－＝，选.
答案：
．(北京高考)把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种．
解析：将，捆绑在一起，有种摆法，再将它们与其他件产品全排列，有种摆法，共有＝种摆法，而，， 件在一起，且，相邻，，相邻有，两种情况，将这件与剩下件全排列，有×＝种摆法，故，相邻，，不相邻的摆法有－＝种．
答案：
．名男同学和名女同学站成一排．
()名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ ()任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
()男生与女生相间排列的方法有多少种？
解：()名女同学是特殊元素，优先安排，共有种排法；由于名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，共有＝种不同的排法．
()先将男生排好，共有种排法；再在这名男生的中间及两头的个空当中插入名女生，有种排法．故符合条件的排法共有＝ 种．
()不妨先排男生，有种排法，在名男生形成的个间隔共有个位置安排名女生，有种，因此共有种排法，故名男生名女生相间的排法共有＝种．
解有限制条件的排列问题的基本思路
．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常优先安排特殊元素或特殊位置；
．当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接按分步解决，若相互影响，则首先分类，在每个分类中再分步解决；
．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，即用“捆绑法”；
．某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，即用“插空法”．
)
．个人站成一排，甲、乙、丙人必须站在一起的所有排列的总数为( ) ．．3A ．·
．·
解析：甲、乙、丙人站在一起有种站法，把人作为一个元素与其他人排列有种，共有·种．
答案：
．(北京高考)从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
． ．
． ．
解析：若选，则只能在十位，此时组成的奇数的个数是；若选，则只能在十位或百位，
此时组成的奇数的个数是×＝，根据分类加法计数原理得总个数为＋＝.
答案：
．由数字组成的所有没有重复数字的位数中，大于 且小于 的数共有( ) ．个 ．个
解析：首位为时，有＝个；
首位为时，千位为，则有＋＝个，千位为或时有＝个； 首位为时，千位为或有＝个，千位为时，有＋＝个．
由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字＋＋＋＋＝(个)． 答案：
．(辽宁高考)把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) ． ．
． ． ．个 ．个
解析：剩余的个座位共有个空隙供人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为＝××＝.
答案：
．(大纲全国卷)个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．(用数字作答)
解析：法一：先把除甲、乙外的个人全排列，共有种方法．再把甲、乙两人插入这人形成的五个空位中的两个，共有种不同的方法．故所有不同的排法共有·＝×＝(种)．
法二：人排成一行，所有不同的排法有＝(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有＝(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有－＝(种)．
答案：
．有，，，，五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，，两位学生去问成绩，老师对说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有种不同的可能．
解析：先安排有种方法，再安排有种方法，最后安排，，共种方法．由分步乘法计数原理知共有3A＝种方法．
答案：
．由，，等人担任班级的个班委．
()若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？ ()若正、副班长两职至少要选三人中的人担任，有多少种分工方案？
2017-2018学年高中数学选修2-3全一册教学案(20份) 北师大版2(新教案)
